ch3.4-典型信号的傅里叶变换

Signals&Systems§3.4典型非周期信号的傅里叶变换大连海事大学信息科学技术学院1/15§3-4典型非周期信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换，今后经常用到，希望将它们当公式记住。一、单位冲激信号ℱ)(tdtettj)(dttej)(01记为1)(FTt)(t)1(t010ℱ)(tSignals&Systems§3.4典型非周期信号的傅里叶变换大连海事大学信息科学技术学院2/15单位冲激信号是一时域宽度几乎为零的脉冲，其在时域的变化率为无穷大。而对应频域中，傅里叶变换为常量1，即信号的能量在各频率上分布均匀，因此称其为均匀谱。二、单边指数信号ℱ)(tuet0dteetjt0)(dtetj)(|0)(jetjj110)(jX212)(221jarctge)()(tuetxt)(txt100)(jXSignals&Systems§3.4典型非周期信号的傅里叶变换大连海事大学信息科学技术学院3/15三、对称单边指数信号1、偶对称tetx)()()(tuetuett)(txt1000)()(dteedteedtetxjXtjttjttjjdtetj10)(jj1122220ℱ)(tx1Signals&Systems§3.4典型非周期信号的傅里叶变换大连海事大学信息科学技术学院4/152、奇对称)()()(tuetuetxtt00)()(dteedteedtetxjXtjttjttjjj11222j)(txt1010)(jX12Signals&Systems§3.4典型非周期信号的傅里叶变换大连海事大学信息科学技术学院5/15)(tut10四、单位阶跃信号因为单位阶跃信号丌满足绝对可积的条件，丌能直接由正变换的公式求得其傅里叶变换。)(lim)(0tuetutℱ)(tuℱ)(lim0tuetℱ)(tuet0limj1lim0][lim22220jSignals&Systems§3.4典型非周期信号的傅里叶变换大连海事大学信息科学技术学院6/15当Ω≠0，α→0，上式前一项ℱjtu1)(当Ω=0，上式后一项022亍是022j此时若α→0，22102221如图中，α→0，上式表示的脉冲趋亍幅度无穷大、宽度无穷小的信号。其宽度为Signals&Systems§3.4典型非周期信号的傅里叶变换大连海事大学信息科学技术学院7/1522d2)(1)(d|)(arctg也即，当α→0，前一项是强度为π的冲激。所以，单位阶跃信号的傅里叶变换ℱjtu1)()(0)(jX)(12)(2记为jtuFT1)()(Signals&Systems§3.4典型非周期信号的傅里叶变换大连海事大学信息科学技术学院8/15五、矩形脉冲信号如图所示，矩形脉冲信号满足绝对可积，可以直接通过积分变换公式求得其傅里叶变换。)]2()2([)(tutuEtx)(txt22EdtetxjXtj)()(22dtEetj22|1tjejEjeeEjj22)2sin(2E)2(SaESignals&Systems§3.4典型非周期信号的傅里叶变换大连海事大学信息科学技术学院9/15所以FTtutuE)]2()2([)2(SaE)(txt22E)(jX22E3由以上矩形波的频谱图可见，信号的能量主要集中在主瓣所包含的频率范围之内：0~2π/τ，所以习惯上称此频段范围是矩形波的频带宽度BΩ。2BSignals&Systems§3.4典型非周期信号的傅里叶变换大连海事大学信息科学技术学院10/15以上频谱图，若分别画振幅频谱图和相位频谱图如下：)(jX22E3)(223)(jX22E3)(txt22ESignals&Systems§3.4典型非周期信号的傅里叶变换大连海事大学信息科学技术学院11/15六、直流信号表示直流信号的函数是一常量，这里设常量为1。显然，它也丌满足绝对可积的条件，丌能由积分直接求得其傅里叶变换。设直流信号tetx0lim1)(由偶对称双边指数信号的傅里叶变换2202lim)(jX202221)(txt10Signals&Systems§3.4典型非周期信号的傅里叶变换大连海事大学信息科学技术学院12/15此频谱函数的波形当α→0，其宽度趋亍无穷小，幅度趋亍无穷大，是一个冲激信号。对比阶跃信号的情况，这里冲激信号的强度应是2π。所以2202lim)(jX)(2)(txt10)2(0)(jX这个结果也可以通过幅度为1，宽度为τ的矩形脉冲的傅里叶变换，取τ→∞得到。)2(lim)(SajXSignals&Systems§3.4典型非周期信号的傅里叶变换大连海事大学信息科学技术学院13/15)2(lim)(SajX)(jX223由第一章介绍可知，dxxSa)(所以)2()2(2)2(dSadSa2亍是)(21FT若用公式表示即是)(2dtetj)(txt22ESignals&Systems§3.4典型非周期信号的傅里叶变换大连海事大学信息科学技术学院14/15七、符号函数信号)sgn()(ttx显然，符号函数信号丌满足绝对可积的条件，丌能由积分直接求得其傅里叶变换。但可以由奇对称双边指数信号的傅里叶变换，取α→0求得。)(txt101)sgn()(ttx)]()([lim0tuetuett亍是2202lim)(jjX2jj2)(jX0)(022Signals&Systems§3.4典型非周期信号的傅里叶变换大连海事大学信息科学技术学院15/15这个结果也可以通过符号函数的另一种表示得到。因为)sgn()(ttx1)(2tu所以)(2]1)([2)(jjXj2亍是jtFT2)sgn()(jX0)(022End