3.1柱面、锥面和旋转曲面

第三章二次曲面§3.1柱面、锥面和旋转面§3.2其它二次曲面§3.3二次直纹面§3.4二次曲面的分类§3.5曲面的相交xyz引例.分析方程表示怎样的曲面？的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,222Ryx沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间222Ryx过此点作柱面.对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面.oC在圆C上任取一点,)0,,(1yxMlM1M),,(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,3.1.1柱面观察柱面的形成过程:定义3.1.1平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.母线准线1.柱面的定义定方向母线准线一般柱面准线注3）准线不一定是平面曲线．4）平面也是柱面，但是其母线方向不唯一．2）柱面的准线不唯一．1）柱面被它的准线和直母线方向完全确定．建立曲面方程的两种方法:一是看成点的轨迹，二是看成曲线产生的.)(),(),()(uzuyuxuZYXS,,已知柱面的准线为母线的方向平行于矢量柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：SvuYx)(ZvuzzYvuyyXvuxx)()()(与vu,式中的为参数.2.求柱面方程1)参数方程设柱面的准线的方程为0),,(0),,(21zyxFzyxF（1）母线的方向数为X，Y，Z.),,(1111zyxM如果为准线上的任意点，那么过点的母线方程为1MZzzYyyXxx111（2）x01M1M2）柱面的一般方程ZzzYyyXxx111且有,0),,(1111zyxF0),,(1112zyxF（3）最后得一个三元方程111,,zyx0),,(zyxF（2）x01M（4）从(2)(3)(4)消去参数这就是以（1）为准线，母线的方向数为X,Y,Z的柱面方程.例3.1.1柱面的准线方程为22210xyzxyz而母线的方向数为(1，1，1)，求这柱面的方程。22222222230xyzxzyzxyQ(1,0,-1）P（2,0,1）例3.1.2已知圆柱面过点P（2，0,1），轴为求这个圆柱面的方程.11111xyz,解法一母线的方向数即为轴的方向数1,－2,－2.问题也就解决了.因为圆柱面的母线平行于其轴，如果能求出圆柱面的准线圆，那么再运用前面的解法，Q(1,0,-1）P（2,0,1）例3.1.2已知圆柱面过点P（2，0,1），轴为求这个圆柱面的方程.11111xyz,解法二：如果将圆柱面看成是动点到轴线等距离点的轨迹，这里的距离就是圆柱面的半径。Q(1,0,-1）P（2,0,1）例3.1.2已知圆柱面过点P（2，0,1），轴为求这个圆柱面的方程.11111xyz,点P(2,0,1)到轴的距离为PQvdv423为柱面上任意一点解：设),,(zyxM011,(,,0)MMxy沿母线对应准线上一点lMM//0则11111xxyyz00,xxzyyz22()()25xzyz为柱面方程。MM0练习柱面的准线是xoy平面的圆周(中心在原点，半径为5)，母线平行于直线，求此柱面方程.:lxyz练习柱面的准线方程为2221222222zyxzyx而母线的方向数是－1，0，1，求这柱面的方程.解的母线为111101xxyyzz且有1212121zyx222212121zyx（4）（5）),,(1111zyxM设是准线上的点，),,(1111zyxM那么过再设111101xxyyzzt那么111,,xxtyyzzt（6）（6）代入（4）及（5）得：1)()(222tzytx（7）2)(2)(2222tzytx（8）以2乘（7）再减去（8），得0)(2tz101111zzyyxx1212121zyx222212121zyx（4）（5）所以zt（9）（9）代入（7）或（8），1)(22yzx即012222xzzyx即得所求得柱面方程为1)()(222tzytx（7）2)(2)(2222tzytx（8）xozyP(x,y,z)如果定直线为z轴，讨论此柱面的方程？柱面上任取一点P(x,y,z)沿母线与xoy平面交点P(x,y,0)P(x,y,0)P(x,y,0)在准线上，从而柱面上任一点P的坐标均满足方程F(x,y)=0..0,0),(zyxF准线C方程柱面方程：F(x,y)=03.特殊柱面(母线平行于坐标轴)xozyxozyyx22抛物柱面xy平面yx22xy抛物柱面方程：平面方程：),,(zyxM)0,,(1yxM从柱面方程看柱面的特征：只含yx,而缺z的方程0),(yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C:0),(yxF.（其他类推）实例12222byax椭圆柱面，12222bzax双曲柱面，pxy22抛物柱面，母线//Z轴母线//Y轴母线//Z轴12222byaxzxyo椭圆柱面母线//Z轴zxy12222bzaxo双曲柱面母线//Y轴pxy22zxyo抛物柱面母线//Z轴例下列方程各表示什么曲面？2222(1)1xzab4)2(22zy02)3(2zxx（母线平行于Y轴的椭圆柱面）（母线平行于x轴的双曲柱面）（母线平行于y轴的抛物柱面）注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面。1、锥面的概念定义3.1.3在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面，这些直线都叫做锥面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线。顶点准线说明：锥面的准线不是惟一的，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的准线.母线3.1.2锥面1)锥面的参数方程已知锥面的准线为，顶点决定的向径为，则锥面的向量式参数方程与坐标式参数方程分别为与，u,v为参数,,ruxuyuzu0000,,rxyz01rvruvr000111xvxuvxyvyuvyzvzuvzA2、锥面的方程2)锥面的一般方程0MPM准线0000(,,)Mxyz(,,)0,(,,)0.FxyzGxyz(,,)Pxyz111(,,)Mxyz•设锥面的顶点是,准线方程为：在锥面上任取一点,过点P的母线与准线的交点为.由AMAP100100100111111(),(),(),(,,)0,(,,)0.xxtxxyytyyzztzzFxyzGxyz（1）点M在准线上；（2）与共线,有从这个方程组中消去参数即可得到锥面的方程.例3.1.3已知圆锥面的顶点为(1,0,0),轴垂直于平面，母线与轴成角，试求这圆锥面的方程.:10xyz300MlMv0(1,0,0)M解法一：先求出准线方程（看成球面与平面的交线。）0,MMv或0cos,cosMMv解法二：•练习已知圆锥面的顶点在原点,轴垂直于平面,母线与轴成角,求此圆锥面的方程.220xyz30(,,)Pxyz(,,)xyzv220xyz(2,2,1)vcos30,vv222222223.22(2)1xyzxyz2221111233216160.xyzxyxzyz•解设是圆锥面上的任意一点,那么过点P的母线的方向向量可取为.而圆锥的轴线的方向向量就是平面的法向量,即•.•根据圆锥面的特性,有即化简得圆锥面的方程为：例3.1.4锥面的顶点在原点，且准线为，求锥面的方程。22221xyabzh1112211221,,,1,.xtxytyztzxyabzh解：在锥面上任取一点P(x,y,z),过点P的母线与准线的交点为（x1,y1,z1），于是Oxyzzh故2222220xyzabc3)锥顶在原点，准线与坐标面平行的锥面注:一般地，取坐标原点为锥顶,准线在平行于坐标平面的一张平面上,譬如为,),(hzyxf0则用上述方法得到方程,,0zhyzhxf它是去掉锥顶的锥面的方程.如果f(x,y)是n次多项式,则此方程可化为一个n次齐次方程,,0zhyzhxfzn注：图像多了锥顶.也可能增加了一些别的点.练习解:设P(x,y,z)为锥面上的一点，有练习设锥顶为原点,准线的方程为2125422zyx,求锥面的方程.解:去掉锥顶(原点)的锥面的方程为.12542222zyzx有理化得25x24y225z2=0,图像多了两条直线:0025zyx,和.,0025zyx4、齐次函数与锥面齐次函数：设n0,如果函数F(x,y,z)满足则称F(x,y,z)是一个n次齐次函数,F(x,y,z)=0称为n次齐次方程定理3.2.1设F(x,y,z)是一个齐次函数,则由方程F(x,y,z)=0确定的曲面是一个顶点在原点的锥面.因此原点在此曲面上记由O和M确定的直线为L,P在曲面上,这说明直线L在曲面上•根据定理3.2.1,方程所确定的曲面是一个锥面,称为二次锥面.2222220xyzabc要知道这个锥面的形状,只须确定它的一条准线就行了。显然,用平面去截它,就得到一条准线：这是平面上的一个椭圆•因此,这个锥面又常常被称为椭圆锥面.zc22221,.xyabzcOxyzzc定义.一条曲线C一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:3.1.3旋转曲面经线和母线一样吗？纬圆Ⅱ以旋转轴l为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线说明：ⅰ纬圆也可看作垂直于旋转轴l的平面与旋转面的交线S1、旋转曲面的有关概念Ⅰ母线上任意一点绕旋转轴l旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线ⅱ任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线.如:单叶旋转双曲面的母线是双曲线或直线;而经线是双曲线.(为方便，今后将取旋转曲面的某一条经线作为它的母线.)lM经线旋转曲面也可看作经线绕轴旋转生成纬圆（纬线）经线球面是旋转面,每条直径所在的直线都可作为轴.2、旋转曲面的方程设旋转曲面的母线，12,,0:,,0FxyzFxyz000:xxyyzzlXYZ1111,,Mxyz母线,,0Fxyz1旋转曲面的一般方程222211122000101111211110101(2)(3)(4),0,,00,xxyyzzxxyyzzFxyzFxXxxYyyzZzzy纬圆：母线：注：ⅰ写出这母线上任意一点的纬圆方程或母线族ⅱ写出参数的约束条件ⅲ消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）1111,,Mxyz111,,xyz旋转轴为直线当M1遍历整个母线Γ时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面平面球＝分析：1M纬圆lM11MSS旋转曲面又可看作以轴l为连心线的一族纬圆生成的曲面特例---以直线为母线的旋转面母线和轴共面时圆柱面(母线和轴线平行)圆锥面(母线和轴线相交而不垂直)平面(母线和轴线正交)母线和轴线异面且直母线与轴线不垂直呢?母线不是经线单叶旋转双曲面例3.1.5求直线133yzx绕直线旋转所得旋转曲面的方程.212xyz解：设P(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过P的纬圆方程是：1112222221112()()2()0xxyyzzxyzxyz