大连理工大学-矩阵与数值分析-第3节稳定性、收敛性和误差估计(新)

常微分方程初值问题数值解法第1章§3稳定性、收敛性和误差估计本节讨论线性多步法的几个基本理论问题：§3稳定性、收敛性和误差估计误差估计以及有重要意义的绝对稳定性和相对稳定性。3.1局部截断误差、相容性考虑初值问题()21.3.1(),uftu′=[]=∈Ttt,0[]T,0()11.3.1()00utu=0,00≠=∑∑=+=+kkjjnkjjjnjfhuαβαL,2,1,0=n以及逼近的线性p阶k步法（1.3.2）稳定性、收敛性和[][]∑=+′−+=kjjjjhtuhjhtuhtuL0)()();(βα[]();nLuth)()(2)1(11+++++=pppphOtuhc0()kjnjjutα+=∑要想un→u(tn)，必须在某种条件下（1.3.2）逼近(1.3.1)1。设u(t)是(1.3.1)1具有p+2次连续微商的解(u(t)∈Cp+2,则由（1.2.36）和（1.2.37）,我们有或（1.3.5）（1.3.4）（1.3.3）[]htuLn);()()(2)1(11+++++=pppphOtuhc（1.3.6)()11121211(2)(2)!1!ppppkkkkppαααβββ−−+++−+++−LL=+1pc（1.3.7）对于差分算子−0()kjnjjhutβ+=′∑=0(,())kjnjnjjhftutβ++=∑+=0()kjnjjutα+=∑0()kjnjjhutβ+=′∑[]();nLuth[]htuLn);(1(1)1()pppchut+++—局部截断误差；—局部截断误差主项。Cp+1—局部截断误差主项系数；L[u(tn);h]，用un+j代替u(tn+j)就得到（3.2））。我们关心的是由于L[u(tn);h]→0(h→0)。故用线性p阶k步法建立起了的()nnnutu−=ε在(1.3.5)中舍去L[u(tn);h],并用un+j代替u(tn+j)就导致(1.3.2)。整体截断误差。()()00(),kkjnjjnjnjjjuthftutαβ+++==⎡⎤−⎢⎥⎣⎦∑∑()1;nLuthh⎡⎤⎣⎦()()[])1(,)(otutftunnn=−′−()();nLuthoh=⎡⎤⎣⎦()()2;,LuthOh=⎡⎤⎣⎦现在考虑一般k步法（1.3.2）（不必要求是p阶的方法）。当h→0时,差分算子（1.3.2）()()(),,utftut′=而在(1.3.3)中令t=tn,则（1.3.8）可写成（1.3.9）为使（1.3.2）的解un当h→0时有可能收敛到(1.3.1)1的解u(tn),逼近微分算子（1.3.1)1,即()()()(),nnnutftut′−−(1)o=1h昀基本（低）的保证是要求满足：()0→h()0→h称多步法(1.3.2)相容,如果对(1.3.1)1-2的任意光滑解u(tn),关系(1.3.8)或(1.3.9)成立。注意到u(t)和f(t,u)当连续可微时,(1.3.8)右端的(（1.3.8）)()1,oOh=而所以多步法(1.2.3)至少是一阶的。jkjjλαλρ∑==0)(jkjjλβλσ∑==0)(()10,ρ=()()11σρ=′00=c⇔01=c⇔⇔()()11σρ=′定义3.1如果解初值问题(1.3.1)1-2的多步法(1.3.2)说是相容的如果它至少是一阶的。（1.3.11）定理3.1为使k步法（1.3.2）相容，必须且只需（1.3.10）引进多步法（1.3.2）的第一和第二特征多项式：事实上，从(1.3.11)和(1.3.12)的定义,由（1.2.34）可推出,若为一阶的方法，应有00kjj（1.3.12）α==∑(1)ρ=100kkjjjjjαβ==⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∑∑()(1)1ρσ′=−()()()lnρλλσλ−=1λ→当时00=∑=jkjα110kkmmjjjjjmjαβ−===∑∑1,2,,mp=L()1111kkppjjjjjpjαβ+==≠+∑∑多步法（1.3.2）可以借助于第一和第二特征多项式来研究。定理线性k步法（1.3.2）是p(p≥1）阶的当且仅当存在系数证明：由于方法为p阶的，则应有阶条件：c≠0，使得()()2111ppcOλλ++−+−()1212!ppkkpααα+++L()()11121201!ppkkpβββ−−−+++=−L即则对于则取，另一方面z，01,→→=zeλλ122ppkkααα+++=L()11122ppkpkβββ−−+++L()()zzezeσρ−00kkjzjzjjjjezeαβ===−∑∑001!kmmjjmjzmα∞==⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∑∑001!kmmjmjjzmα∞==⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∑∑10001!kkmmmjjmjjjmjzmαβ∞−===⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∑∑∑()121pppczOz+++=+那么，对于某一个c≠0成立等价于p阶条件成立。即证得定理。11001!kkmmpjjjjjpjzpαβ−+==⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∑∑()2pOz++利用Taylor展开ze=λ代回变换001!kmmjjmzjzmβ∞==⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑∑()11011!kmmjmjjzmβ∞−==⎛⎞⎜⎟−⎝⎠∑∑()()2111ppcOλλ++=−+−()()()()()21ln11ppcOρλλσλλλ++−=−+−1λ→当时是p(p≥1）阶的当且仅当:0120,pcccc=====L而cp+1≠0,⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩121(2)!ppkkpααα+++L122kkααα+++L010kααα+++=L2,3,p=L01()0kβββ−+++=L()11121(2)01!ppkkpβββ−−−+++=−LLLL(1.2.35)0,00≠=∑∑=+=+kkjjnkjjjnjfhuαβαL,2,1,0=n线性k步法（1.3.2）或()nnnnffhuu−+=+++11232()2,ρλλλ=−()31,22σλλ=−()()()λσλλρln−()()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++−+++=211231ln112zzzz2zz=+−()43125zOz+=3512C=。故上述二步方法是二阶的，误差主项系数解：由则练习1设已给定显式方法:试求它的阶p及误差主项系数。1zλ=−为应用上述定理，利用来表达是方便的。231123zzz⎛⎞−++⎜⎟⎝⎠L312z⎛⎞+⎜⎟⎝⎠def2zz=+−232333311124223zzzzzz⎛⎞−+−+++⎜⎟⎝⎠L⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=++++nnnnnfffhuu1253412231223()()()λσλλρln−()()3211zz=+−+−322zzz=++−()5483zOz+=43.8C=故上述三步显式方法是三阶的，误差主项系数。同样地，对于多步法()()()1ln11zzzρσ=+−++()ln1z+()()223451112312zz⎛⎞+−++⎜⎟⎝⎠()32,ρλλλ=−()22345,12312σλλλ=−+解：由则由展开式，234111233zzzz⎛⎞−+−+⎜⎟⎝⎠L22351122zz⎛⎞++⎜⎟⎝⎠322zzz=++−3423423423235551111224246233zzzzzzzzz⎛⎞−+−++−+−+⎜⎟⎝⎠LG.Dahlquist研究了线性多步法的阶与根条件的⎩⎨⎧++≤.,2,1为偶数当为奇数，当kkkkp因此，在构造线性多步法时，要兼顾根条件与精度阶两方面。关系，并指出，当方法满足根条件的时，其阶附注：利用关系式确定线性多步法是由其特征多项式多项式又有其内在联系，即它们满足一定的关系式。个多项式就可以唯一确定。使方法（1.3.2）的p≥k阶；如果给定利用上述关系式可以唯一确定使方法（1.3.2）的p≥k+1阶。具体地说,两个多项式之一，利用上述关系式，另一例如，确定k步Gear方法（习题p21-2），昀方便的作法是:(),kσλλ=令1,zλ=+再令则可写成()从而得到k步k阶Gear方法。()()()111ln1++++=+kkzOzzzρ把ln(1+z)和(1+z)k展成z的幂级数，然后整理成(1+z)的幂级数()()λσλρ和()()λσλρ和而这两个所确定的,()()λσλρ和如果给定如果给定利用上述(),λσ(),λσ(),λρ关系式可以唯一确定()λρ()λρ即可得到的表达式,()()()()211ln1zOzzz+++=+ρ()()2212zOzzz++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=()2zOz+=()()211zOz+−+=()111,++++=nnnnutfhuu舍去O(z2)，得对应的一步一阶Gear公式为：例1解：我们有(),1隐式的Euler方法。==k，λλσ给定试确定相应的()。λρ()。1−=λλρ()()()()3211ln1zOzzz+++=+ρ()()32212zOzzz++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=()3223zOzz++=()()()322112123zOzz+++−+=()=λρ212232+−λλ()2212,21223++++=+−nnnnnutfhuuu()2212,323134+++++−=nnnnnutfhuuu舍去O(z3),得对应的2步2阶Gear公式为：例2解：我们有或者(),22==k，λλσ给定试确定相应的()。λρmaxnnnhTuv≤−≤（1.3.13）定义3.2如果存在常数C（不依赖h和多步法（1.3.2）h0＞0，使3．2（零）稳定性则称多步法（1.3.2）是稳定（stable）。这说明,对一切充分小的h,多步法（1.3.2）的解连续()0,0hh∈∀{un}和{vn}（初值不同）恒有C0maxjjjkuv≤−的解）和和（1.3.2）的任意解地依赖于初值。定理3.2是形如(1.3.10)的第一特征多项式，单位圆内且位于单位圆上的都是单根。(),1≤λ()λρ设()。满足根条件是λρ()的所有特征值在即λρ则多步法(1.3.2)稳定的充分必要条件()00uf′=≡。00=+=∑jnkjjuαL,1,0=n1111jrmlnnjljjlucnξ−−===∑∑maxnnhTu≤≤必要性，将多步法（1.3.2）用于方程其解形如，又{vn=0}是上述k阶齐次差分方程的平凡解。()0,0hh∈∀即{un}关于n和h(nh≤T，0≤h≤h0)一致有界。而当h→0时，n→∞，因此此时（1.3.2）简化为：证明：此时不等式为：C0maxjjku≤()。满足根条件λρ()00,,kkjnjjnjnjjjuhftuαβ+++===∑∑()jnjnkjjjnkjjvtfhv++=+=∑∑=,00βα0kjnjnjehbα+==∑,,1,0L=nhT00hh()()[]jnjnjnjnkjjnvtfutfb++++=−=∑,,0β充分性，设{un}和{vn}是（1.3.2）任意两个解，则令en=un-vn，则en满足其中（1.3.15）（1.3.14）()()vuLvtfutf−≤−,,0knnjjbBLe+=≤∑11111210100010kkkkkkαααααααα−−−−−−⎛⎞−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLOOMMOOM1nn+=+ECEnB将（1.3.14）写成向量形式：f关于u满足Lipschitz条件：则()12,,,Tnnknkneee+−+−=LE引进k维列向量和（1.3.16）()1,0,,0Tnknhbα−=LB，以及k×k阶矩阵{},,,maxBk0ββL=设=C0nn=+ECE11n-lnll0−−=∑CB逐次递推，得（1.3.17）0,1,,,Tnh=L00hh()12,nnn==EEE表示向量的欧氏范数,‖C‖表示与向量的欧氏范数相容的矩阵范数，则存在常数M，使得则由引理1.1，矩阵{Cn}一致有界。nCM≤n=B0kj=∑（1.3.18）（1.3.19）,,1,0L=nhT00hh1knhbα−⋅⋅≤1kj=∑21nje+−≤222knhbα−nje+h1kBLα−(),满足根条件今设λρ以()12,,,Tnnknkneee+−+−=LE()1,0