多元函数微分学及应用经典例题

一.设f,g为连续可微函数,,求.解.,.所以二.设,其中为可微函数,求.解.原式两边对y求导..所以三.设.解.由上述表达式可知x,z为自变量,所以四.求下列方程所确定函数的全微分:1.;2..解.1.,所以,所以所以2.,所以,所以所以五.设,其中f具有二阶连续偏导数,求.解.=六.已知.解.===七.设确定,求.解.以上两式对x求导,得到关于的方程组由克莱姆法则解得,八.设解.=于是==0九.设,其中f(u,v)具有二阶连续偏导数,二阶可导,求.解.=十.已知,,p(t)连续,试求.解.,,=0十一.设,试确定常数,使.解.=所以=+==0于是=1.十二.若满足,其中f(u)有连续的二阶导数,求z.解.,同理所以.令,得常微分方程于是.,,即十三.求曲面的平行于平面的切平面方程.解.设切点为,,.所求切面的法矢量为.所以,代入曲面方程得:,所以当解得所求切面方程为,即;当解得所求切面方程为,即.十四.求圆周处的切线与法平面方程.解.圆周在处,,.所以在处圆周的方向矢量为{16,9,－1}.所求切线:,所求法平面:,即.十五.试求上的最大值与最小值.解.,解得,.当x=0时,[－3,0],解得为最大为最小当y=0时,[－3,0],解得为最大为最小当时[0,－3]当时z有最小值.即当时z有最大值.即当时z有最大值.即综上所述:=为最大值,为最小值.十六.在椭球面内作内接直角平行六面体,求其最大体积.解.设直角平行六面体在第一卦限的顶点为.该题为下的最大住值.令.解方程组.解得,,.当任意一个成立时,都有.所以,当边长为有最大体积.十七.求原点到曲面的最短距离.解.设曲面上达到最短距离的点为(x,y,z),则达到最小值.令,由(3)若=1代入(1),(2)得,解得.代入曲面方程,得到,由(3)若由(3)解得.由(1),(2)得到.代入曲面方程,得到,,,所以所求的最短距离为.十八.当时,求函数在球面上的最大值,并证明对任意的成立不等式解.构造函数,解得因为在球面上当.所以当时,u达到最大值.对于任意正实数,令.原题条件极值问题转化为注意到.于是即.