高一数学必修1《函数的单调性》ppt课件

1.31观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：问题：观察这三个图象，你能说出图象有哪些特征吗？图1图2图321.3.1函数的单调性（第一课时）艾宾浩斯记忆遗忘曲线新知探究：3自主学习（5分钟）阅读教材P27-----P28的内容，完成以下问题：1、增函数的定义.2、减函数的定义.4画出一次函数f(x)=x的图象，并观察其变化规律：1、从左至右图象是上升还是下降？____2、在区间________上，随着x的增大，相应函数f(x)的值随着_____．(-∞,+∞)增大上升f(x)=x新知探究：5(-∞,0](0,+∞)增大减小画出二次函数f(x)=x2的图象，并观察其变化规律：f(x)=x2先下降后上升1、从左至右图象是上升还是下降？2、在区间上，f(x)的值随着x的增大而．在区间上，f(x)的值随着x的增大而．函数图象的”上升””下降”反映了函数的一个基本性质————函数的单调性.新知探究：6如何描述二次函数f(x)=x2的单调性呢？文字语言：函数f(x)=x2在区间(−∞，0)上，函数值f(x)随自变量x的增大而减小；在区间0，+∞)上，函数值f(x)随自变量x的增大而增大.函数f(x)=x2在(−∞，0)上的图象是下降的，在0，+∞)上的图象是上升的.x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…f(x)=x2图形语言：新知探究：7如何描述二次函数f(x)=x2的单调性呢？如何利用函数解析式f(x)=x2来描述“随着x的增大，相应f(x)随着增大”“随着x的增大，相应f(x)随着减小”？对于0，+∞)上任意x1,x2,当x1x2时，都有x12x22,即f(x1)f(x2).这时,我们就说函数f(x)=x2在0，+∞)上是增函数.f(x)=x2对于−∞，0上任意x1,x2,当x1x2时，都有x12x22,即f(x1)f(x2).这时,我们就说函数f(x)=x2在−∞，0上是减函数.符号语言：新知探究：8一、增函数和减函数的定义一般的，设函数f(x)的定义域为I.1、增函数的定义如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．相应的区间D叫做函数f(x)的单调区间新知探究：9一、增函数和减函数的定义如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．相应的区间D叫做函数f(x)的单调区间2、减函数的定义一般的，设函数f(x)的定义域为I新知探究：10注意一：增减函数定义中，x1,x2的三个特征1、任意性.在单调区间内是任意取x1,x2，不能以特殊值替换.2、有大小.所取得两个值x1,x2必须区分大小，通常规定x1x2.3、同属一个单调区间.即所取的x1,x2必须来自同一单调区间.新知探究：111、判断下列说法的正误：课堂练习：（1）若函数𝒇(𝒙)的定义域为(0,+∞)，且满足𝒇(𝟏)𝒇(𝟐)𝒇(𝟑)，则函数𝒇(𝒙)在(𝟎,+∞)上是增函数.（2）已知函数f(x)=𝟏x，因为f(-1)=-1，f(1)=1,所以函数f(x)是增函数.（3）若函数f(x)满足f(2)f(3),则函数f(x)在区间[2，3]上为增函数.×××12二、函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这个区间D上具有单调性,这一区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.注意二：1、函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集.2、函数的单调性是对于某个区间而言的，在单独的某一点上不存在单调性.新知探究：13例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.例题解析：14注意二：3、在写单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包含这些点.4、若函数在其定义域内的某两个区间A、B或两个以上的区间上都是增(减)函数，不能说f(x)在A∪B∪…上是增(减)函数，而要用“和”或“，”来代替“∪”，即说成f(x)在区间A和B(或A，B)上是增(减)函数.新知探究：15考察狄利克雷函数的单调性狄利克雷函数𝑦=1，𝑥为有理数0，𝑥为无理数有怎样的单调性？狄利克雷函数的定义域是R,但是它不存在单调性.注意二：5、有些函数不具备单调性.如狄尼克雷函数不存在单调性，又如函数𝒚=𝒙+𝟏，𝒙∈Z，定义域不是区间.新知探究：162、判断下列说法的正误？（5）若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在(1，3)上为增函数.（4）因为函数f(x)=𝟏x在区间(-∞，0)和(0，+∞)上都是减函数，所以f(x)=𝟏x在(-∞，0)∪(0，+∞)上是减函数.××随堂练习：172、试指出函数y=－x2+2|x|+3的单调区间？解：函数的图象如图所示,函数的单调区间有(−∞，−1，(−1，0，(0，1，(1，+∞).其中单调增区间为(−∞，−1和(0，1.单调减区间为(−1，0和(1，+∞).8642-2-4-6-8-10-5510fx=-x2+2x+33-33-11xy0随堂练习：18例2、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。)(为正常数kVkp证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1V2，则21121212()()VVkkpVpVkVVVV由V1，V2∈(0，+∞)，得V1V20；又k0,于是0)()(21VpVp所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.),0(,VVkp取值定号变形作差下结论)()(12VpVp即由V1V2，,得V2-V10.例题解析：19三、判断函数单调性的方法利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1、取值(任取x1，x2∈D，且x1x2)2、作差（f(x1)－f(x2)）3、变形（因式分解、配方或有理化等）4、定号（判断差f(x1)－f(x2)的正负）5、下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．新知探究：20考察函数𝑦=1𝒙𝟐的单调性？解：函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)我们先考察函数在(0，+∞)上的单调性，在(0，+∞)上任取𝒙𝟏，𝒙𝟐，且𝟎𝒙𝟏𝒙𝟐，则𝒇(𝒙𝟏)−𝒇(𝒙𝟐)=𝟏𝒙𝟏𝟐−𝟏𝒙𝟐𝟐=𝒙𝟐𝟐−𝒙𝟏𝟐(𝒙𝟏𝒙𝟐)𝟐∵𝟎𝒙𝟏𝒙𝟐，∴𝒙𝟐𝟐−𝒙𝟏𝟐0,(𝒙𝟏𝒙𝟐)20∴𝒇𝒙𝟏−𝒇𝒙𝟐𝟎，即𝒇𝒙𝟏𝒇(𝒙𝟐)∴函数𝑦=1𝒙𝟐在(0，+∞)上单调递减.𝑓(𝑥)在(-∞，0)上的单调性证明留给你自己取值定号变形作差下结论课堂探究：xy𝒚=𝟏𝒙𝟐01-1-1121（1）通过增(减)函数的概念形成过程，你学到了什么？（2）增(减)函数的图象有什么特点？如何根据图象划分单调区间？（3）用定义证明函数单调性的基本步骤：取值、作差、变形、定号、下结论（4）函数的单调性的另一种表达形式：若对于定义域I内某个区间D上的任意两个变量𝒙𝟏,𝒙𝟐，当𝒙𝟏≠𝒙𝟐时，总有𝒇(𝒙𝟏)−𝒇(𝒙𝟐)𝒙𝟏−𝒙𝟐𝟎(或𝟎)，那么就说函数在区间D上是增(减)函数.课堂小结：22习题1.3、A组：1题，2题，3题.课后作业：23