一阶线性微分方程及其解法

一、一阶线性微分方程及其解法二、一阶线性微分方程的简单应用三、小结及作业§6.2一阶线性微分方程判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：一、一阶线性微分方程及其解法例1在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次的，则称其为一阶线性微分方程。1.一阶线性微分方程的定义223)1(xyy2sin1)4(xyxdxdy22)3(xyy)12sin()()2(3xxyyxyyy)5(1sin)6(2xyxy(1))()(xQyxPdxdy（1）、（4）是一阶线性的，其余的是非线性的.解2.一阶线性微分方程的一般式3.一阶线性微分方程的分类当时，方程（1）称为一阶线性齐次微分方程。0)(xQ当时，方程（1）称为一阶线性非齐次微分方程。0)(xQ0)(yxPdxdydxxPCey)(（1）一阶线性齐次微分方程分离变量法4.一阶线性微分方程的解法1）一般式2）解法3）通解公式dxxPCeyCdxxPydxxPdyy)(ln)(ln)(1通解两边积分分离变量.02的通解求yxyxxP2)(dxxCe2xCeln2解例2则通解2CxdxxPCey)()()(xQyxPdxdy（2）一阶线性非齐次微分方程常数变易法1）一般式2）解法3）通解公式])([)()(CdxexQeydxxPdxxPdxxPCe)(dxexQedxxPdxxP)()()(齐次的通解非齐次的特解)()()())](()()([)()()(xQexuxPxPexuexudxxPdxxPdxxPdxxPexuy)()(设为非齐次线性方程的解，则即)()()(xQexudxxPdxxPexQxu)()()(CdxexQxudxxP)()()(4）常数变易法))(()()()()(xPexuexuydxxPdxxP代入原方程有将yy,通解])([)()(CdxexQeydxxPdxxP.12的通解求xyxy,1)(xxP,xxQ2)(Cdxexeydxxdxx121Cdxexexxln2ln解例3则通解为Cdxxx31xCx341.00)12(12的特解满足求xydxxxydyx,2)(xxP21)(xxxQCdxexxeydxxdxx2221Cdxxex)1(ln2解例4则通解为Cxxx2122原方程变形为,122xxyxdxdy其中2121xCx得由01xy,21C因此方程满足初始条件的特解为221121xxy二、一阶线性微分方程的应用1.分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。2.建立微分方程。3.确定方程类型,求其通解.4.代入初始条件求特解.应用微分方程解决实际问题的步骤:例5处的切线斜率等于过原点平且在点求)(x,y的曲线方程。yx3解设所求曲线方程为,)(xfy,00xy则依题有yxy3从而即xyy3其中,1)(xPxxQ3)(Cdxexeydxdx3Cdxxeexx3则通解为Cxdeexx3Cdxexeexxx)3(Cexeexxx)3(Cexeexxx)3(xCex)13(得由00xy,3C因此所求曲线方程为)1(3xeyx设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落的速度成正比(比例系数，起跳时的速度为0，求下落的速度与时间的函数关系。)0kt例6设速度与时间的函数关系为：解,)(tvv,00tv则依题有由牛顿第二定律知：vmmakvmg即gvmkv其中,)(mktPgtQ)(则通解为CdtegevdtmkdtmkCdtegetmktmkCedkmgetmktmk)()(CekmgetmktmktmkCekmg得由00tvkmgc因此所求速度与时间的函数关系为)1(tmkekmgv三、小结1.一阶线性齐次微分方程2.一阶线性非齐次微分方程dxxPCey)())(()()(CexQeydxxPdxxP（1）一般式0)(yxPdxdy（2）通解公式（1）一般式（2）通解公式)()(xQyxPdxdy