三次函数专题

三次函数专题一、定义：定义1、形如32(0)yaxbxcxda的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。定义2、三次函数的导数232(0)yaxbxca，把2412bac叫做三次函数导函数的判别式。由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性。一般地，当032acb时，三次函数)0(23adcxbxaxy在R上是单调函数；当032acb时，三次函数)0(23adcxbxaxy在R上有三个单调区间。（根据0,0aa两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心。三次函数)0()(23adcxbxaxxf是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(abfab，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。证明：设函数的对称中心为（m，n）。按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。所以，函数的对称中心是（）。可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。3、三次方程根的问题。（1）当△=01242acb时，由于不等式0)(xf恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。（2）当△=01242acb时，由于方程0)(xf有两个不同的实根21,xx，不妨设21xx，可知，))(,(11xfx为函数的极大值点，))(,(22xfx为极小值点，且函数)(xfy在),(1x和),(2x上单调递增，在21,xx上单调递减。此时：①若0)()(21xfxf，即函数)(xfy极大值点和极小值点在x轴同侧，图象均与x轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。若0)()(21xfxf，即函数)(xfy极大值点与极小值点在x轴异侧，图象与x轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。③若0)()(21xfxf，即)(1xf与)(2xf中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。4、极值点问题。若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x)(或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。当0时，三次函数yfx在,上的极值点要么有两个。当0时，三次函数yfx在,上不存在极值点。5、最值问题。函数若，且，则：max0,,fxfmfxfn；。三、例题讲解：例1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1。（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。解：①式无解，②式的解为5543a，因此a的取值范围是5543，.例2、已知函数)(xf满足Cxxfxxf2332')(（其中C为常数）．（1）求函数)(xf的单调区间；（2）若方程0)(xf有且只有两个不等的实数根，求常数C；（3）在（2）的条件下，若031f，求函数)(xf的图象与x轴围成的封闭图形的面积．解：（1）由Cxxfxxf2332')(，得132'23)('2xfxxf．取32x，得13232'232332'2ff，解之，得132'f，∴Cxxxxf23)(．从而1313123)('2xxxxxf，列表如下：x)31,(31)1,31(1),1()('xf＋0－0＋)(xf↗有极大值↘有极小值↗∴)(xf的单调递增区间是)31,(和),1(；)(xf的单调递减区间是)1,31(．（2）由（1）知，CCfxf27531313131)]([23极大值；CCfxf1111)1()]([23极小值．∴方程0)(xf有且只有两个不等的实数根，等价于0)]([极大值xf或0)]([极小值xf．………8分∴常数275C或1C．（3）由（2）知，275)(23xxxxf或1)(23xxxxf．而031f，所以1)(23xxxxf．令01)(23xxxxf，得0)1()1(2xx，11x，12x．∴所求封闭图形的面积11231dxxxx11234213141xxxx34．例3、（恒成立问题）已知函数3211()32fxxxcxd有极值．（1）求c的取值范围；（2）若()fx在2x处取得极值，且当0x时，21()26fxdd恒成立，求d的取值范围．解：（1）∵3211()32fxxxcxd，∴2()fxxxc，要使()fx有极值，则方程2()0fxxxc有两个实数解，从而△＝140c，∴14c．（2）∵()fx在2x处取得极值，∴(2)420fc，∴2c．∴3211()232fxxxxd，∵2()2(2)(1)fxxxxx，∴当(,1]x时，()0fx，函数单调递增，当x(1,2]时，()0fx，函数单调递减．∴0x时，()fx在1x处取得最大值76d，∵0x时，21()26fxdd恒成立，∴76d2126dd，即(7)(1)0dd，∴7d或1d，即d的取值范围是(,7)(1,)．例4、（信息迁移题）对于三次函数32()(0)fxaxbxcxda。定义：（1）()fx的导数()fx（也叫()fx一阶导数）的导数()fx为()fx的二阶导数，若方程()0fx有实数解0x，则称点00(,())xfx为函数()yfx的“拐点”；定义：（2）设0x为常数，若定义在R上的函数()yfx对于定义域内的一切实数x，都有000()()2()fxxfxxfx恒成立，则函数()yfx的图象关于点00(,())xfx对称。（1）己知32()322fxxxx，求函数()fx的“拐点”A的坐标；（2）检验（1）中的函数()fx的图象是否关于“拐点”A对称;（3）对于任意的三次函数32()(0)fxaxbxcxda写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）。解：（1）依题意，得：2()362fxxx，()66fxx。由()0fx，即660x。∴1x，又(1)2f，∴32()322fxxxx的“拐点”坐标是(1,2)。（2）由(1)知“拐点”坐标是(1,2)。而(1)(1)fxfx=32(1)3(1)2(1)2xxx32(1)3(1)2(1)2xxx=222666444xx=2(1)f，由定义(2)知：32322fxxxx关于点(1,2)对称。（3）一般地，三次函数32fxaxbxcxd(0)a的“拐点”是,()33bbfaa，它就是()fx的对称中心。或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数.例5、（与线性规划的交汇问题）设函数,其中,是的导函数.(1)若,求函数的解析式;(2)若,函数的两个极值点为满足.设,试求实数的取值范围.解:(Ⅰ)据题意,由知,是二次函数图象的对称轴又,故是方程的两根.设,将代入得比较系数得:故为所求.另解：，据题意得解得故为所求.(2)据题意,,则又是方程的两根,且则则点的可行区域如图的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点，A到直线的距离的平方为的最小值故的取值范围是例6：（1）已知函数f(x)=x3-x,其图像记为曲线C.（i）求函数f(x)的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1（x1,f(x1)））处的切线交于另一点P2（x2,f(x2)），曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3,f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则12SS为定值；（2）对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。解法一：（1）（i）有f(x)=x3-x得f’(x)=3x2-1=3(x-33)(x+33).当x(,33)和(33，)时，f’(x)0;当x(33，33)时，f’(x)0。（ⅱ）曲线C在点P1处的切线方程为y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1，即y=(3x12-1)x-2x13.由得x3-x=(3x12-1)x-2x13即（x-x1）2(x+2x1)=0,解得x=x1或x=-2x1,故x2=-2x1.进而有用x2代替x1,重复上述计算过程，可得x3=-2x2和S2=42274x。又x2=-2x10，所以S2=41271604x,因此有12116ss。（2）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）的图像为曲线C’，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于3ba的实数x1,曲线C’与其在点P1（x1,g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2,g(x2)）,曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3,g(x3)），线段P1P2、P2P3与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则12SS为定值。证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至解法二：（1）同解法一。（2）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图像为曲线C’，类似于（1）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于3ba的实数x1,曲线C’与其在点P1（x1,g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2,g(x2)）,曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3,g(x3)），线段P1P2、P2P3与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则12SS为定值。证明如下：用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3=2bxa和4223(3)12axbSa。又x2=112,3bbxxaa且所以442112333(3)(62)16(3)0,121212axbaxbaxbSaaa故121.16SS三次函数作业1、设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（）2、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（）A.1，－1B.1，－17C.3，－17D.9，－193、设函数32()63(2)2fxxaxax.（1）若()fx的两个极值点为12,xx，且121xx，求实数a的值；（2）是否存在实数a，使得()fx是(,)上的单调函数若存在,求出a的值；若不存在，说明理由.考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识4、设定函数32()(0)3afxxbxcxda，且方程'()90fxx的两个根分别为1，4。（Ⅰ）当a=3且曲线()yfx过原点时，求()fx的解析式；（Ⅱ）若()fx在(,)无极值点，求a的取值范围。5、已知函数f（x）=3231()2axxxR，其中a0.（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间11,22上，f（x）0恒成立，求a的取值范围.6、已知函数32()fxaxxbx（其中常数a，b∈R），()()'()gxfxfx是奇函数.