高等传热学相变导热解(移动边界)

高等传热学导热理论——相变导热（移动边界问题）讨论第五讲：相变导热（移动边界问题）：移动边界的导热问题有许多种，本讲只讲固液相变时的导热模型。5.1相变换热特点与分类：特点：(1)相变处存在一个界面把不同相的物质分成两个区间（实际不是一个面，而是一个区）。(2)相变面随时间移动，移动规律时问题的一部分。(3)移动面可作为边界，决定了相变问题是非线性问题。分类：(1)半无限大体单区域问题（StefanQuestion）(2)半无限大体双区域问题（NeummanQuestion）(3)有限双区域问题5.2相变导热的数学描述和解：假定：固液两相内部只有导热，没有对流（适用于深空中相变）。物性为常量。不考虑密度变化引起的体积变化。控制方程：对固相：221sssttax对液相：221lllttax初值条件：0:slttt边界条件：0:::slwlslsxtorttxtortorxtortt在相变界面，热量守恒，温度连续，Ql为相变潜热：()():slslllslpttdxQandtttxxd5.2.1半无限大体单区域问题（StefanQuestion）的简化解：以融解过程为例：忽略液相显热，2210lllttax，方程解为一直线，由边界条件得：()/lwpwttttx对固相，忽略温差：wpttt，即固相温度恒等于相变温度等于初始温度。由相变处得换热条件求δ的变化规律：()()():0()2()/2lllllpwllllwpllltddxQttQxdxdacttQaSte式中：()/llpwlStecttQ叫Stefan’sNumber，物理意义是相变时液相显热和液固潜热比。液体厚度与时间的开平方成正比。所以：进入物体的融解热流密度为：0()2lllxwplltqttxaSte，热流密度与时间的开平方成反比。5.2.2半无限大体单区域问题（StefanQuestion）的精确解：同样以融解过程为例：对液相，221lllttax，设方程解为（满足初始条件）：(/4)lltABerfxa由边界温度条件得：(/4)(/4)llwpwlerfxatttterfa对固相，忽略温差：wpttt，即固相温度恒等于相变温度等于初始温度。由相变处得换热条件求δ的变化规律，设/4la叫凝固常数，液体厚度也与时间的开平方成正比。上式是关于凝固常数的方程，叫相变问题的特征方程。进入物体的融解热流密度为：0()()lwpllxltttqxaerf，热流密度同样与时间的开平方成反比。5.2.3半无限大体双区域问题（NeummanQuestion）的精确解：同样以融解过程为例：对液相，221lllttax，设方程解为（满足初始条件）：22()():()0exp()()exp()()()/()/llllllllpwllwplllltdxQxdQatterfaerfttQaSte(/4)lwlttAerfxa由边界温度条件得：(/4)(/4)llwpwlerfxatttterfa，(/4)pwlttAerfa对固相，221sssttax，设方程解为（满足初始条件）：(/4)lsttBerfcxa由边界温度条件得：(/4)(/4)sspserfcxatttterfca，(/4)psttBerfca由相变处得换热条件求δ的变化规律，设/4la叫凝固常数，液体厚度也与时间的开平方成正比，/4la。得相变问题的特征方程：2lxltAxea2sxstBxea2222()exp()()()exp()()()/()/exp()()exp()()llllpwlspslwplllsplllQatterfatterfcattaQttaQerferfc22/exp()()exp()()lsslSteSteerferfc进入物体的融解热流密度为：0()()lwpllxltttqxaerf，热流密度还是与时间的开平方成反比。5.2.4非线性问题求解方法总结：对非线性问题，直接求解难度大，一般是进行适当简化，在简化基础上构造()():lslllsttdxQxdx一个满足大多数唯一性条件的，保留部分待解常数的解函数。将这个解函数代入余下的唯一性条件，求出待解常数，即为近似解或精确解。5.3关于湖水结冰问题的讨论：几何条件假定：湖面很大，也很深，看成半无限大体。换热条件假定：结冰前湖水均温，为t∞，湖水主体温度一直保持t∞。大气环境温度为ta，湖面与大气间的表面传热系数为常量h1，冰层下表面与湖水间的表面传热系数也为常量h2。物性假定：因为在0℃附近，冰的比热cs《Ql，忽略冰层热容作用。由此可得在冰层中的温度分布为直线。设坐标原点在湖面，冰层厚度为δ，我们根据能量守恒和平壁导热规律得：21()1//papslsttdhttQhd（1）冰层温度分布：()/swpwttttx求解δ，令1122211///////sppassspalssssshmttttRhhSteFoStecttQFohcah代入(1)式：2211()111(1)1psslpapahttddQmRdhtthttddmRd00,,00stt21111(1)0.5/(1)ddmRdumRu{ln[1/(1)]}/(,)mRmRmRfmR讨论：当max,1/mRmR。mR一定时，冰层的最大厚度也就确定。此时湖水对冰层的自然对流热流量等于湖面对大气散发的热流量，湖水凝结停止。当0pttmR，湖水比热无穷大，2211121此种情况冰层没有极大值，可一直增厚。即211(12()/1)/spassslsctthcQh。当1mR，冰层得到的热流量等于散出的热流量，ln0,cc，此种情况由于厚度不能为负值，故不会结冰，尽管ta小于冰点。当,pwatttt，湖水比热无穷大（或湖水与冰间的换热系数无穷大），湖面与大气换热系数无穷大，有：pwpwsslsslttttdQdddQ2()/2sspwlssacttQaSte此即Stefan近似解。此处的分析方法又叫做准稳态近似法。