奥数-分式恒等变形学

分式恒等变形方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。例1.若22004am，22003bm，22002cm且24abc，求111abcbccaababc的值。例2.若0abc，0abc，求222abcbcacab的值。例3.求证：2220()()()()()()abcbaccbaabacabbccbac例4.设正数x，y，z满足不等式2222xyzxy+2222yzxyz+2222zxyxz1,求证x，y，z是某个三角形的三边长例5.求分式248161124816111111aaaaaa，当2a时的值．例6.若1111abcabc，求证：7777771111abcabc.例7.化简:abbccaabbccaabbccaabbcca．例8.计算：2132xxx262xx2104xx．例9.化简2232233223222244113ababaababbaababbababab．例10.化简：222222222222abcbcacabacbabcbca例11.已知0abc，求证2222222221110bcaacbbac例12.已知0abc，求222222222abcabcbaccab的值例13.已知1,2xyzxyz，22216xyz，求代数式111222xyzyzxzxy的值。方法二、约分：分子、分母先因式分解再约分例14.已知分式2221(1)()xxyxy（1）在什么条件下此分式有意义?（2）在什么条件下分式的值为正、为负？（3）分式的值能否为0？例15.化简：42236421121111aaaaaaaaa例16.化简：4224232164242416844mmmmmmmmmm例17.化简：2222222211222abaabbabababab例18.化简：222111111()()()111111()()()abcbccaababcbccaab.方法三、倒数法例19.若13xx，则33441713xxxx=___________．例20.⑴已知15aa，则4221aaa=_________.⑵若2410xx，则42321912192xxxxx=_________.⑶若271xxx，则2421xxx=__________．例21.若2310xx，则74843231xxxxx________．例22.设211xxmx，则36331xxmx的值是（）A.1B.213mC.2132mD.2131m例23.己知311yx，求yxyxyxyx2232的值。例24.设43223440(0,0)aabababbab，求baab的值.例25.已知xyaxy，yzbyz，zxczx，且0abc，求x的值。例26.已知()1xfxx，求下列的值111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112fffffffff方法四、等比定理、设k法例27.已知：2341341231241234aaaaaaaaaaaakaaaa，求k；例28.如果234xyz，求222xyyzzxxyz的值。例29.若abcdbcda，则abcdabcd的值是_______或________.例30.若0abc，且abbccacab，求()()()abbccaabc的值。例31.若xyzxyzxyzzyx，且0xyz，求()()()xyyzzxxyz的值；例32.已知222pqrxyzyzxzxy，求证()()pxqyrzxyzpqr。例33.已知xyzxyzxyzzyx，且()()()1xyyzzxxyz，求xyz.例34.已知0ay，且22222222bbxxbbxxaayyaayy，求证xbay或xbya。例35.已知yzxzxyxyzpxyzyzxzxy，求23ppp的值。方法五、巧变“1”例36.若1abc，求证：1111abcaabbbccca．例37.已知1111abcaabbbccca，求证：1abc．例38.若1abc，解关于x的方程2012111xxxaabbbccca．例39.已知1axbycz，求444444111111111111abcxyz的值。例40.设a、b、c均为正数，且a+b+c=1，求证1119abc。方法六、换元法例41.化简分式：222222113111112123xxxxxxxxxxxxxx例42.计算22223322332223()2nmnmmnmnnmnmnmmnmnmn例43.化简)()(2)(2)yxzxxyzxyz（+()()(2)(2)zyxyxyzyzx+()()(2)(2)xzyzyzxxyz例44.设a，b，c是实数，且222222()()()(2)(2)(2)bccaabbcacababc，求分式222(1)(1)(1)(1)(1)(1)bcacababc的值；例45.关于x的方程22xcxc的两根是122,xcxc，求关于x的方程2211xaxa的两个根？例46.若0xyz，1110123xyz，求222(1)(2)(3)xyz的值。例47.已知1,0xyzabcabcxyz，求证：2222221xyzabc.例48.设x、y、z都是正数，求证2229xyyzzxxyz。方法七、巧解方程组：消元思想；整体相加（减）；整体相乘；两两相加（减）；倒数法例49.已知三个不全为零的数x、y、z满足4360xyz，270xyz。求22222223657xyzxyz的值。例50.已知11ab，11bc，求2ca的值。例51.已知111xyzyzx，其中x，y，z互不相等，求证：2221xyz.例52.已知111xyztyzx，其中x，y，z互不相等，求t的值。例53.已知14xy，11yz，173zx，求xyz的值。例54.解方程组：222222414414414xyxyzyzxz例55.解方程组：111211131114xyzyzxzxy例56.已知0abcbccaab，求证：2220()()()abcbccaab例57.已知220ab，且22abcabcabMbcca，求证：()()()abcabbcca，且2abcMcab.方法八、降次思想例58.已知210xx，求2521xxx的值。例59.已知2519970xx，求42(2)(1)1(1)(2)xxxx的值。例60.已知210xx，求42322329321122xaxxax的值。方法九、裂项：因式分解再裂相例61.计算：2018119171531421311例62.化简111...123234(1)(2)nnn例63.1111(1)(2)(2)(3)(3)(4)(100)(101)xxxxxxxx例64.化简：dcbacbadcbabacbaab例65.求证：111()()(2)[(1)]()()naadadadandandaand例66.化简22()()()()()()bccaababacbcbacacbbaca例67.化简分式：2221113256712xxxxxx例68.化简：222222bccaabaabacbcbabbcaccbcacababbcca.例69.化简：222222abcbcacabaabacbcbabbcaccacbcab.例70.化简：222abcbaccababacbcbacacb．例71.若212axbxy，且0ab，求111...1120072007xyxyxy的值．例72.设正整数m、n满足mn，且2221111(1)23mmmmnn，则mn的值是多少？方法十、化为真分式：部分分式化，求最值或整数解例73.将269x化为部分分式．例74.将下列分式写成部分分式的和的形式：3222236113xxxxx．例75.将下列分式写成部分分式的和的形式：32241338121xxxxxx．例76.若0xyz，0xy，0yz，0zx，xayz，ybxz，zcxy。求证：1111abcabc。例77.已知x为整数，且223218339xxxx为整数，则所有符合条件的x的值的和为多少？例78.求最大正整数n，使得3100n能被10n整除。例79.求方程301xyx的整数解。例80.求方程22320060xxyxy的正整数解。例81.当x为何值时，分式22365112xxxx有最小值？最小值是多少？例82.当x为何值时，分式226121022xxxx可取最小值，最小值是多少？例83.已知2x，2222(1)xxxx是否有最值，最值时多少？十一、杂题例84.已知1ax，111nnaa（1,2,3,...n）（1）求2a，3a，4a，5a；（2）求2000a例85.已知6abxab，求3333xaxbxaxb的值.例86.已知3acbd，求证：222222()()acbdabcdacbdabcd例87.计算222222129911005000220050009999005000。例88.若a，b，c，d是正实数，且44444abcdabcd，求证：abcd；