奥数-分式恒等变形师

分式恒等变形方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。例1.若22004am，22003bm，22002cm且24abc，求111abcbccaababc的值。（1/8）例2.若0abc，0abc，求222abcbcacab的值。（3）例3.求证：2220()()()()()()abcbaccbaabacabbccbac例4.设正数x，y，z满足不等式2222xyzxy+2222yzxyz+2222zxyxz1,求证x，y，z是某个三角形的三边长【分析与证明】原不等式可变形为z(x^2+y^2-z^2)+x(y^2+z^2-x^2)+y(x^2+z^2-y^2)-2xyz0因式分解得(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)0所以三个括号内的数全正或者1正2负，因为x，y，z全正，所以不可能1正2负（证明略）所以三个括号内均为正数，所以x，y，z是某个三角形的三边长例5.求分式248161124816111111aaaaaa，当2a时的值．【解析】先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：22ababab，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．原式248161124816111111aaaaaaaa22481622481611111aaaaa224816222121481611111aaaaaaa44816448161111aaaa1616161611aa32323232112a例6.若实数a，b，c满足1111abcabc，求证：7777771111abcabc.【证明】：由已知得到()()bcacababcabc，有()()()0abbcac，则a，b，c中一定有两个数互为相反数。例7.化简:abbccaabbccaabbccaabbcca．【解析】原式abbccaabbccaabbccaabbcca22bacbaccaabbcabbcca22bacbacabbcabbc0例8.计算：2132xxx262xx2104xx．【解析】设2132xxx1Ax+2212ABxABBxxx．121ABAB解之得23AB∴21233212xxxxx．同理：262xx22x21x，2104xx32x22x．∴原式21x+32x22x+21x32x+202x．用因式分解再通分法比较好补充：化简分式：22252571061268xxxxxxxxx例9.化简2232233223222244113ababaababbaababbababab．【解析】按照分式混合运算法则进行化简：2232233223222244113ababaababbaababbababab22222211abababababababab22223abababab222222223aabbababababababab22222222223aababbabababababab0．例10.化简：222222222222abcbcacabacbabcbca【解析】原式abcabcbcaabcabcbcaabcabcabcabcabcbcaabcbcaabcabcabcabc1例11.已知0abc，求证2222222221110bcaacbbac例12.已知0abc，求222222222abcabcbaccab的值【解答】：由2222222()()()aaaabcabababac；可得2222222()()()aaaabcabababac；答案为1；例13.已知1,2xyzxyz，22216xyz，求代数式111222xyzyzxzxy的值。（413）方法二、约分：分子、分母先因式分解再约分例14.已知分式2221(1)()xxyxy（1）在什么条件下此分式有意义?（2）在什么条件下分式的值为正、为负？（此问要解一元二次不等式，超纲）（3）分式的值能否为0？【分析与解答】：(1)x,y的绝对值都不是1（2）原式=(1+x)(1-x)/(x+1)(x-1)(y+1)(y-1)=1/(1-y^2)所以当y的绝对值小于1且x的绝对值不等于1时，分式为正当y的绝对值大于1且x的绝对值不等于1时，分式为负。（3）不能例15.化简：42236421121111aaaaaaaaa【解析】原式223324212111121aaaaaaaaa3342621111111aaaaaaaa224222422111111aaaaaaaa2例16.化简：4224232164242416844mmmmmmmmmm【解析】原式22222222422224241444244mmmmmmmmmmmmmm22222224222242414224242mmmmmmmmmmmmmmm1例17.化简：2222222211222abaabbabababab【解析】原式22222222222ababababababab222222222abababababab22222222ababababab22ab补充：化简4224223366422412baaabbaabbababaabb．【解析】按照分式混合运算法则进行化简：4224223366422412baaabbaabbababaabb22422442242222222212abaabbaabbabaabbabaabbabab42222222222221112aabbabaabbaabbabab2222222abaabbaabb42222222212aabbababab2222212abab补充：化简：2333232221112212211xxxxxxxxxx【解析】原式22222211112111111xxxxxxxxxxxxxx22112(1)111xxxxxx2222(1)2(1)01xxx例18.化简：222111111()()()111111()()()abcbccaababcbccaab.（a+b+c）方法三、倒数法例19.若13xx，则33441713xxxx=___________．【解析】解析：由221137xxxx，故2323242421111772511502131xxxxxxxxxx．例20.⑴已知15aa，则4221aaa=_________.⑵若2410xx，则42321912192xxxxx=_________.⑶若271xxx，则2421xxx=__________．【解析】⑴本小题是一个简单题，也是这类题的一个最基本、最原始的模型！2211523aaaa，4222211124aaaaa．⑵本题在例题的基础上，对已知条件稍作变形，待求式也稍作变形．214104xxxx224223211171919133311219211219219xxxxxxxxxxxxx⑶本题在上个例题的已知条件上稍作变形，实质是一样的！22211813477117491xxxxxxxxx．242221114913415115114949xxxxx．点评：倒数法是指利用已知条件中隐含的倒数关系，或者对已知条件、待求式作倒数变形，以便快速、准确地求解问题的一种方法，对于本题而言，已知条件中存在(或隐含)倒数关系，这类题目比较简单．补充：⑴已知2310mm，求分式2421mmm的值．⑵如果2310aa，那么361aa的值是_________．【解析】⑴221310133mmmmmm（∵0m）224222111118111mmmmmmm．⑵由2221131037aaaaaa，故3632321111111181aaaaaaaa．例21.若2310xx，则74843231xxxxx________．【解析】由2221131037xxxxxx，故原式23232424211113232501150131xxxxxxxxxx．例22.设211xxmx，则36331xxmx的值是（）A.1B.213mC.2132mD.2131m【解析】由211xxmx可知，22221111121xmxxmxmmxxx．原式33311xmx2321111xxmxx231122mmmm2132m．例23.己知311yx，求yxyxyxyx2232的值。补充：已知114ab，求2227aabbabab的值例24.设43223440(0,0)aabababbab，求baab的值.【解】：两边同除以22ab,因式分解得到(3)(2)0ababbaba；答案为2或－3；例25.已知xyaxy，yzbyz，zxczx，且0abc，求x的值。例26.已知()1xfxx，求下列的值111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112fffffffff方法四、等比定理、设k法例27.已知：2