自动控制原理拉普拉斯变换

拉普拉斯变换(Laplace变换)拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯逆变换拉普拉斯变换的应用在数学中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用一种变换手段.所谓积分变换，就是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。积分变换包括拉普拉斯（Laplace）变换和傅立叶（Fourier）变换。这里只研究Laplace变换，讨论他的定义、性质及其应用。一、拉普拉斯变换的概念以时间t为自变量的函数，它的定义域是则积分式拉普拉斯变换()ft0t0()()stFsftedt（是一个复变量）s称上式为函数的拉普拉斯变换式()ft()Fsℒ()ft叫做()ft的拉氏变换,称为象函数.()Fs叫做的拉氏逆变换,称为原函数,()ft()Fs()ft=ℒ)(1sF（2）在的任一有限区间上连续或分段连续；（1）时,一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是0t0t()0ft二、拉普拉斯变换存在定理dtetfst0)(（3）拉普拉斯变换例1求单位阶跃函数的拉氏变换ut解0100)(tttusstsstedtetuL10101)]([三、一些常用函数的拉普拉斯变换即stuL1)]([根据定义dtetftfLst0)()]([拉普拉斯变换tttt0,00)(11))1(1()]1([)()]([11101101seedtetLsssstsst解例2求单位脉冲函数的拉氏变换t1)]([tL即根据定义dtetftfLst0)()]([拉普拉斯变换例3求指数函数的拉氏变换ktetf)(解：根据定义kseksdtedteetfLtkstksstkt10)(1)]([)(0)(0dtetftfLst0)()]([kseLkt1][即拉普拉斯变换四、拉普拉斯变换的性质)()]([saFtafL)()()]()([2121sFsFtftfL1.线性性质齐次性：设则拉普拉斯变换的性质拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性叠加性：设)()]([11sFtfL)()]([22sFtfL则)()]([sFtfL)()]([sFtfL2.微分定理设可得各阶导数的拉氏变换为)0()0()0()0()(])([)0()0()(])([)0()(])([)1()2(21222nnnnnnnfsffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfL拉普拉斯变换的性质特别地,当(1)(0)(0)(0)(0)0nffff时,)(])([)(])([)(])([222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn拉普拉斯变换的性质3.积分定理)()]([sFtfL设原函数积分的拉氏变换为:)(tfsdttfssFdttfLt0)()(])([拉普拉斯变换的性质4.时滞定理)(tf)(TtfT)()]([sFtfL设平移函数的拉氏变换0)()()]([sFedteTtfTtfLsTst拉普拉斯变换的性质若且存在5.初值定理)()]([sFtfL)(limssFs则)(lim)(lim0ssFtfst6.终值定理若，且的所有极点全部在s平面的左半部。)()]([sFtfL)(ssF则的稳态值)(tf)(lim)(lim0ssFtfst拉普拉斯变换的性质例4.应用初值定理求的原函数的初始值2)2(1)(ssF)(tf)0(,)0(ff解：（1）求)0(f0441lim)2(1lim)(lim)(lim)0(20ssssssFtffssst（2）求)0(f0)2(1)0()()]([2ssfssFtfL14411lim)2(lim)(lim)(lim)0(220ssssssFstffssst拉普拉斯变换的性质五.拉普拉斯逆变换根据拉普拉斯变换的定义102jstjftFsedstj右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦.对于绝大多数控制系统，是按照下面方法求拉氏逆变换的。五.拉普拉斯逆变换设的极点称为的零点称为)()()()(,)(1111101110sFpsFzpszsKmnasasasabsbsbsbsFjinjjmiinnnnmmmm（1）只包含不相同极点时的逆变换)(tf因为各极点均互不相同，因此可分解成为诸分式之和)(sF五.拉普拉斯逆变换nnpsApsApsAsF2211)(式中，为常数，称为的留数。iAips)()(limsFpsAipsii即ipsiipssFA)])(([各项系数求出后，可按下式求原函数)(tftpntptpnnneAeAeApsALpsALpsALsFLtf212112211111][][][)]([)(五.拉普拉斯逆变换例5.求下列函数的拉氏逆变换。已知，求)2)(1(3)(ssssF)]([)(1sFLtf解：21)(21sAsAsF式中，21)1()2)(1(31sssssA12)2()2)(1(32sssssA02]2112[)]([)(211teessLsFLtftt五.拉普拉斯逆变换（2）包含共轭复极点时的逆变换如果有一对共轭复极点，则可以利用下面的展开式简化运算。)(tf)(sF设为共轭复极点21,ppnnpsApsApspsAsAsF332121))(()(式中，的计算可根据21,AA11)()])(()([2121pspsAsApspssF五.拉普拉斯逆变换例6.)1(1)(2sssssF)]([)(1sFLtf求解：1)1(1)(22102ssAsAsAsssssF确定各待定系数111)(0200sssssssFAjsjsAsAssssss232121232122)()1()1(1得0121AA五.拉普拉斯逆变换223222322)()5.0(5.0)()5.0(5.0111)(sssssssssF)23sin(3323cos1)(5.05.0tetetftt（3）包含有个重极点时的逆变换)(tfr)())(()()())(()(21021nrrrmpspspspszszszsKsF将上式展开成部分分式nnrrrrrpsApsApsApsApsAsF11001002001)()()(五.拉普拉斯逆变换上式中，000)]}()[({)!1(1)]}()[({)}(){(0110002001psrrrrpsrpsrsFpsdsdrAsFpsdsdAsFpsA五.拉普拉斯逆变换2)2)(1(3)(ssssF例7.)]([)(1sFLtf求解：12)2()(3221sAsAsAsF2)1()2)(1(32]})2()2)(1(3[{1)2()2)(1(312322222221sssssssAssssdsdAssssA1222)2(1)(2ssssFttteetesFLtf22)]([)(221五.拉普拉斯逆变换六.常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下:（1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程;（2）从象函数的代数方程中解出象函数;（3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.应用例8求微分方程满足初始条件23tyyye00y01y的解解：设对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得211231sYssYsYss3112884()113113sYsssssss解得所以3131488tttyteee)()]([sYtyL11)(3)0(2)(2)0()0()(2ssYyssYysysYs应用