第三章-应变状态理论

§3-1位移分量和应变分量两者的关系§3-2物体内无限邻近两点位置的变化转动分量第三章应变状态理论§3-3转轴时应变分量的变换§3-4主应变应变张量不变量§3-5应变协调方程§3-6应力和应变的关系物体经过位移后，由于内部各点的位移不相同，除刚体位移外，其大小和形状会发生改变----称为变形在外力作用下物体内部各质点上的空间位置会发生改变----产生位移2、建立几何方程和应变协调方程1、分析一点的应变状态应变状态理论§3-1位移分量和应变分量两者的关系OxyzPrPRu变形前变形后u=R-r1,,,,,,uxyzxxyzxxyz1,,,,,,vxyzyxyzyxyz1,,,,,,wxyzzxyzzxyz位移分量均为单值连续函数，且假定其具有三阶连续偏导数oyzx0l00lll轴向(纵向)应变：g：切应变g直角改变量,,,,,xyzxyyzzxggg六个应变分量我们从物体中取出x方向上长dx的线段PA，变形后为P'A'，P'点的位移为(u,v)，A'点x方向的位移为y方向上的位移为xxuudxxvvddxdxPA的正应变在小变形时是由x方向的位移所引起的，因此PA正应变为PA的转角为xvxuxdxdx我们从物体中取出y方向上长dy的线段PB，变形后为P'B'，B'点y方向的位移为x方向上的位移为PB的正应变在小变形时是由y方向的位移所引起的，因此PB正应变为yyvvdyyuudyv线段PA的转角是线段PB的转角是于是，直角APB的改变量为yuxvxy21xvyuyuxvxygA有时用张量分量PAB这样，平面上一点的变形我们用该点x方向上的正应变、y方向上的正应变和xy方向构成的直角的变化—切应力来描述，称为应变分量。yuxvyvxuxyyx21同样，空间一点的变形我们用该点x、y、z方向上的正应变和xy、yz、zx方向构成的直角的变化－切应变来描述。ijjiijxuxu21张量形式为空间的应变分量共九个分量，是一个对称张量，和应力张量一样，它们遵从坐标变换规则，同样存在着三个互相垂直的主方向，对应的主应变值是该张量的特征值。这些互相垂直的主方向构成的直角在该应变张量的变形时，角度不变，由主平面组成的单元体，由正方体变为直角长方体。在主方向构成的坐标系中，张量分量构成对角阵，切应变分量为零。§3-2物体内无限邻近两点位置的变化转动分量物体内无限邻近两点A和B，坐标分别为（x、y、z）和（x+dx、y+dy、z+dz）,变形后至A′和B′点，则两点的位移矢量的三个分量为：A点：,,,,,,uxyzvxyzwxyzB点：d,d,dd,d,dd,d,duuxxyyzzvvxxyyzzwwxxyyzz按Tayior展开，得：ddddddddduuuuuxyzxyzvvvvvxyzxyz1111ddddd22221111ddddd222212uvuuwvuuwuuxyzyzxxyzxxyzxvuvwvvuwvvvxyzxzxyyyzxyyzu111ddddd222wvwuwwvxyzxyyzzzxyz引入转动矢量U2xwvpyz2yuwqzx2zvurxy由p、q、r表示单元体的刚性转角1111ddddd22221111ddddd22221111ddddd2222xxyzxzyxyyyzzxzxyzzyxuuxyzyzvvyyzxzwwxyzxygggggg与A点无限接近的B点的位移由三部分组成：AABBBB随A点的一个平动绕A点的刚体转动所产生的位移由邻近的小单元体变形引起的位移111102222dd11110dd2222dd111102222zyxxyzxzxxyyyzyxzxyzzuuxxvvyywwzzgggggg用矩阵表示：111213212223313233112211221122xxyzxijxyyyzzxyzzgggggg----应变张量§3-3转轴时应变分量的变换一方向为（l，m，n）的微分线段AB，其长度为r，A点的坐标（x，y，z）,B点的坐标（x+rl，y+rm，z+rn）uuuuurlrmrnxyzvvvvvrlrmrnxyzAABB,,lmnr,,lmnr推导得：222ruvwwvuwvulmnmnlnlmxyzyzzxxy可写成：222rxyzyzzxxylmnmnlnlmggg表明：如知物体内某点的6个应变分量，即可求得过该点的任一方向微分线段的相对伸长值。过同一点的微分线段AB和AC，其长度分别为r1和r2，方向分别为(l1,m1,n1)和(l2,m2,n2)，研究变形后其夹角的改变可推导得出转轴时应变分量的变换公式可写成：ijijiijjnn12mijiijjsng66235003000221230040010010333301002001364410r例题3-1在物体内的一点的应变张量为：65003000300400100100100200ij的微分面上的正应变。221,,333lmn试求法线方向余弦为：§3-4主应变应变张量不变量物体内存在3个互相垂直的方向，在这3个方向的微分线段，在物体变形后仍保持垂直。此方向称为应变主方向，该方向上微分线段的相对伸长，称为主应变。由于主方向的线段在变形后仍保持垂直，故在变形中，其单元体只有刚体转动，据此，可得主应变和主应变方向所应满足的方程：110221102211022xxyxzyxyyzzxzyzlmnlmnlmngggggg有非零解1122110221122xxyxzyxyyzzxzyzgggggg321230JJJ其中：1xyzJ222214xyyzzxxyyzzxJggg3112211221122xxyxzyxyyzzxzyzJgggggg--应变张量的第一不变量（体积应变）--应变张量的第二不变量--应变张量的第三不变量可得3个实根，分别代表三个主应变，用ε1、ε2、ε3表示主应变的几个重要性质：1、如ε1≠ε2≠ε3，即方程无重根，则应变主方向必相互垂直。2、如ε1=ε2≠ε3，方程有两重根，则ε3方向必同时垂直于ε1、ε2的方向，而ε1和ε2的方向可以垂直，也可以不垂直；即与ε3垂直的任何方向都是主方向。3、如ε1=ε2=ε3，方程有三重根，则3个方向可以垂直，也可以不垂直；即任何方向都是主方向。例题3-2在物体内的一点的应变张量为：15000040600600ij试求主应变和主方向。解：1、三个应变张量不变量：122222223150400110141150404000150012009600411221500011040605400002206001122xyzxyyzzxxyyzzxxxyxzyxyyzzxzyzJJJggggggggg2、由特征方程得：321230JJJ123150,43.3,83.3123150,43.3,83.32、分别代入下列方程中得：及2220lmn1112223331,0,00,0.585,0.8110,0.811,0.585lmnlmnlmn110221102211022xxyxzyxyyzzxzyzlmnlmnlmngggggg§3-5应变协调方程将二、三式分别对z,y求二阶导数再相加，得zwyvxuzyxyuxvxwzuzvywxyzxyz212121类似可以得到另外两个方程将右边后三式分别对x,y,z求导后两式相加减去第一式，再对x求导，得zwyvxuzyxyuxvxwzuzvywxyzxyz212121类似可以得到另外两个方程综合得：--应变协调方程（圣维南方程）§3-6应力和应变的关系kkijijijEE1张量形式为应力应变的物理关系在线弹性力学中，应力应变的物理关系成线性的广义胡克关系，对于各向同性材料，其中，只有两个弹性常数.当坐标系为主方向时，切应力为零，切应变也为零，公式简化为213313223211111EEE12312E上三式相加可得到：其中分别为体积应变和体积应力。zyx如果用应变来表示应力，有下列关系：其中称为拉密常数。2ijijkkijG张量形式为222xxyyzxxyxyyzyzzxzxGGGGGGgggzyx(1)(12)2(1)EEG其矩阵形式为σ=Dε注意这里我们假定材料是线弹性、各向同性的，于是应力应变的关系是线性的，其中弹性常数只有两个。在各向异性的情况下，D的上述表达式不再成立，具有更多的弹性常数。TT][][zxyzxyzyxzxyzxyzyxεσ其中