随机过程课程第一章-基础知识

------金融资产定价之应用随机过程基础知识基本概念马尔可夫过程随机分析平稳过程鞅和鞅表示维纳过程Ito定理基础资产价格衍生产品定价第一章基础知识第一节概率第二节随机变量及其分布第三节随机变量的数字特征第四节矩母函数和特征函数第五节条件期望第六节指数分布第七节收敛性和极限定理第一节概率一、基本概念1．随机试验其结果在事先不能确定的试验。具有三个特性：（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，并能事先明确试验的所有可能的结果；（3）每次试验前不能确定哪个结果会出现。首页2．样本空间随机试验所有可能结果的集合，记为。其中每一个结果，称为样本点。样本空间的一个子集E。对样本空间的每一个事件E，都有一实数P（E）与之对应，且满足：（1）3．随机事件4．概率10）（EP1）（P，，21EE（3）对两两互不相容的事件序列（2）)11iiiiEPEP（）（则称P（E）为事件E的概率。首页二、概率的性质：10）（P2）（）（）（）（EFPFPEPFEP3)(1)(EPEPc4设nEEE，，，21两两互不相容，则)11niiiniEPEP（）（5设两两互不相容的事件，，，21EEiiE1则对于任意事件A，有)1iiEAPAP（）（首页三、概率的连续性1．极限事件对于事件若，，，21EE1nnEE1n则称事件序列}1{nEn，递增，若1nnEE1n则称事件序列}1{nEn，递减。这样可定义一个新的事件，记为nnElimiinnEE1lim1nnEEiinnEE1lim1n1nnEE1n首页2．连续性定理若是递增的或递减的事件序列，}1{nEn，)limlimnnnnEPEP（）（证明}1{nEn，nF11EFcnncininnEEEEF111)(1nnFnEiEni则即由包含在中但不在任何前面的（）中的点组成。设是递增序列，并定义事件：定理111EF2F3F首页容易验证（）是互不相交的事件，且满足iiiiEF11iniiniEF11nF1n和于是）（）（iiiiFPEP11)1iiFP（)lim1niinFP（)(lim1ininFP)(lim1ininEP)(limnnEP首页设E为随机试验，为其样本空间，A、B为任意两个事件，四、条件概率0）（AP）（）（）（APABPABP|为事件A出现的情况下，事件B的条件概率，或简称事件B关于事件A的条件概率。若1．定义则称首页定理2（乘法公式）2．基本公式假设为任意n个事件（），nAAA，，，212n021）（nAAAP)|()|()(21312121AAAPAAPAPAAAPn）（）（121|nnAAAAP若则首页定理3（全概率公式与贝叶斯公式）设事件两两互不相容，nBBB，，，21iniB10）（iBPni,21，，则（1）对任意事件A，有)|)(1iiniBAPBPAP（）（（2）对任意事件A，若，有0）（AP)|)|)|(1iiniiiiBAPBPBAPBPABP（）（（）（首页五、独立性如果事件A，B满足）（）（）（BPAPABP设是n个事件，如果对于任意和，有nAAA，，，21)2(nssniiis211）（）（）（）（ssiiiiiiAPAPAPAAAP2121则称事件相互独立。nAAA，，，21则称事件A，B相互独立。1．定义两个n个首页2．独立性的性质定理4若事件A，B相互独立，则；；分别也相互独立.定理5设事件相互独立，若其中任意个事件相应地换成它们的对立事件，则所得的n个事件仍然相互独立。nAAA，，，21BA与BA与BA与)1(nmm推论若事件相互独立，则nAAA，，，21)(11)(11ininiiAPAP首页)(11)(11ininiiAPAP证)(1)(11niiniiAPAP)(11niiAPniiAP1)(1))(1(11niiAP返回首页一、一维随机变量的分布第二节随机变量及其分布1．随机变量设随机试验的样本空间为，如果对于每一个都有唯一的一个实数与之对应，这种对应关系称为一个随机变量，记作或X。)(X)(X2．分布函数随机变量X取值不超过x的概率，称为X的分布函数（其中x为任意实数），记为即)(xXP)(xF)()(xXPxFx首页分布函数F（x）具有下列性质：12是非降函数，即当时，有)(xF1)(0xFx21xx)()(21xFxF0)(limxFx1)(limxFx34)()0(xFxFF（x）是右连续的，即首页3．分布密度最常见的随机变量是离散型和连续型两种。离散型随机变量随机变量X的可能取值仅有有限个或可列无穷多个。设是离散型随机变量X的所有可能的取值，是的概率：),2,1(kxkkpkxkkpxXP)(),2,1(k则称上式为X的概率分布或分布率。且满足0kp11kkp首页3．分布密度连续型随机变量如果对于随机变量X的分布函数为F（x），存在非负的函数f（x）,使对任意的实数x有则称X为连续型随机变量，f（x）称为X的概率密度，且满足xdttfxF)()(0)(xf1)(dxxf首页二、随机变量的联合分布1．联合分布函数设是样本空间的n个随机变量，为任意实数，则称特别地为随机变量的n维联合分布函数nXXX，，，21nxxx，，，21),,,(),,(221121nnnxXxXxXPxxxF，),()(yYxXPyxF，即是X，Y的二维联合分布函数首页2．二维分布密度离散型设（X，Y）所有可能的取值为，而是（X，Y）取值为的概率，即则称上式为二维离散型随机向量（X，Y）的联合分布律。它满足),(jiyx,2,1(i),2,1jijp),(jiyxijjipyYxXP),(0ijp111ijijp首页2．二维分布密度连续型如果存在一个非负的二元函数f（x，y）,使对任意的实数x，y有则称（X，Y）为二维连续型随机变量，f（x，y）称为（X，Y）的概率密度，满足：xydudvvufyxF),()(，0),(yxf1),(dxdyyxf首页3．边缘分布及独立性边缘分布设（X，Y）的分布函数为，则X，Y的分布函数、，依次称为关于X和关于Y的边缘分布函数，且有)(yxF，)(xFX)(yFY),()(xFxFX),()(yFyFY独立性)(yxF，)(xFX)(yFY则称随机变量X和Y是相互独立的。首页离散型若随机变量（X，Y）的联合分布律分别称为（X，Y）关于X和Y的边缘分布律。,2,1(i),2,1jijjipyYxXP),(ijjiipxXPp1)(则ijijjpyYPp1)(X和Y相互独立的充要条件是jiijppp首页连续型若随机变量（X，Y）的概率密度为则X和Y相互独立的充要条件是),(yxf分别称为（X，Y）关于X和Y边缘概率密度。dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(),(yxf)(xfX)(yfY首页4．条件分布函数离散型若，则称为在条件下，随机变量X的条件分布律。0)jyYP（jijjjijippyYPyYxXPyYxXP)),)|（（（ixXjyYiijijiijppxXPyYxXPxXyYP)),)|（（（同样为在条件下，随机变量Y的条件分布律。首页4．条件分布函数连续型称为在条件下，随机变量X的条件分布律。同样称为在条件下，随机变量Y的条件分布律。)(),()|(yfyxfyxfYyY)(),()|(xfyxfxyfXxX注意：分母不等于0返回首页第三节随机变量的数字特征一、期望和方差1．期望设离散型随机变量X的分布律为则kkpxXP)(,2,1k)(XEkkkpx1设连续型随机变量X的概率密度为，)(xf则)(XEdxxxf)(首页函数期望当X为离散型随机变量则当X为连续型随机变量，则)(XgY)]([)(XgEYEkkkpxg)(1)]([)(XgEYEdxxfxg)()(首页2。方差称随机变量的期望为X的方差，即计算方差时通常用下列关系式：2)]([XEX)(XD]))([(2XEXE)(XD22)]([][XEXE首页3．性质（1）（2）（3）若X和Y相互独立，则CCE)(0)(CD)()(XCECXE)()(2XDCCXDniiniiXEXE11)()()()()(YEXEXYE（4）0)(XD的充要条件是1)]([XEXP返回首页3．性质（5）（柯西—许瓦兹不等式）等式成立当且仅当（6）若X为非负整数值的随机变量，则证)()(|)(|222YEXEXYE1)(0XtYP)()(1iXPXEi首页（7）若X为非负值的随机变量，则1()()kEXkPXk0)(1)(dxxFXE）（)1(XP)2()2(XPXP)3()3()3(XPXPXP)()()(nXPnXPnXP最后对每一丛向列求和，即得。首页1．协方差计算协方差时通常用下列关系式：二、协方差和相关系数),(CovYX))]())(([(YEYXEXE),(CovYX)()()(YEXEXYE2.相关系数)()(),(CovYDXDYXrXY首页3．性质（1）（2）若X和Y相互独立，则（4）的充要条件是X与Y以概率1线性相关，即),(Cov2)()(1,11jnjijiiniiniiXXXDXD0),(CovYX1||XYr（3）1||XYr1)(baXYP返回首页例1设XN（0，1），求解当n为偶数时，由分部积分得当n为奇数时，)(nXE)(nXEdxexxn22210)(nXE)(nXEdxexnxn22221)()1(2nXEn依次递推，注意到，故1)(0xE偶数奇数2!)!1(135)3)(1(0)(nnnnnXEn首页在一次集会上，n个人把他们的帽子放到房间的中央混合在一起，而后每个人随机地选取一项，求每人拿到自己的帽子的人数X的均值和方差。例2（匹配问题）解利用表达式nXXXX21其中其它个人拿到自己的帽子如果第，，01iiX即求EX、DX故因nXPi/1)1(nXEi/1)(221)1(1)(nnnnXDi首页又),(CovjiXX)()()(jijiXEXEXXE而其它个人都拿到自己的帽子个人与第如果第，，01jijiXX得}11{)(jijiXXPXXE，}1|1{}1{ijiXXPXP111nn故),(CovjiXX)1(1nn21n所以1)(XE1)1(121)(22nnCnnXDn)1(12nn返回首页一、矩母函数第四节矩母函数和特征函数1．定义称的数学期望为X的矩母函数2．原点矩的求法tXe][)(tXeEt利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对逐次求导并计算在点的值：)(t0t][)(tXXeEt][)()tXnneXEt（][)0()nnXE（首页3．和的矩母函数定理1设相互独立的随机变量的矩母函数分别为，，…，，则其和的矩母函