对数函数题型归纳大全非常完整

对数与对数函数题型归纳总结知识梳理1．对数的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．(2)换底公式：logab＝logcblogca(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．利用换底公式推导下面的结论①abbalog1log．推广loglogloglogabcabcdd．②bmnbanamloglog，特例：loglognnaabb(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数，x是自量，函数定义域是(0,)．注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：0(a，且)1a．4．对数函数的定义、图象与性质结论1.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.结论2.对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限.5.反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．例题分析题型一对数的运算例题1：（1）计算：lg14－lg25÷100－12＝_____；(2)计算：（1－log63）2＋log62·log618log64＝___解析：(1)原式＝(lg2－2－lg52)×10012＝lg122×52×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log63＋（log63）2＋log663·log6（6×3）log64＝1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2log64＝2（1－log63）2log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.例题2：设x、y、z为正数，且，则x、y、z之间的关系式为.解析：设，由知，取以为底的对数可得，所以，，，所以，所以.变式1：（1）若lg2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x的值等于(2)已知ab1，若logab＋logba＝52，ab＝ba，则a＝___，b＝____解析：(1)由题意知lg2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0，2x＝3，x＝log23.(2)设logba＝t，则t1，因为t＋1t＝52，∴t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，∴b2b＝bb2，即2b＝b2，又ab1，得b＝2，a＝4.变式2：已知1ab．若loglo52gabba，baab，则a______，b____分析：进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg2lg51解析：设log,1batt则，所以152tt，解得2t，所以2ab，于是由baab，得22bbbb，所以22bb，解得2,4ba．题型二对数函数的定义域346xyz346xyzt0x1ttlog3log4log61tttxyz1log3tx1log4ty1log6tz1111log6log3log2log422ttttzxy1112zxy例题3：函数21log1yx的定义域为__________．解析：要使21log1yx有意义，则21log10x，即2log11x，即012x，即11x，即函数21log1yx的定义域为1,1．变式3：函数256()4||lg3xxfxxx的定义域为（）A．(2,3)B．(2,4]C．(2,3)(3,4]D．(1,3)(3,6]分析：求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数．解析：由函数()yfx的表达式可知，函数()fx的定义域应满足条件：2564||0,03xxxx，解得44,2,3xxx，即函数()fx的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C．题型三对数函数的值域例题4：求下列函数的值域：（1）31logyx；（2）212log23yxx．解析：（1）∵31log0x∴33log1log3x∴0x，函数的定义域为0,3x∵31log0x函数的值域为0,y．（2）∵2230xx∴3x或1x所以函数的定义域为,13,x因为2230xx，即223xx能取遍一切正实数，所以212log23xxR所以函数的值域为yR．题型四对数函数的奇偶性例题5：若函数fx为奇函数，当0x时，2logfxx，则12ff（）A．2B．1C．0D．1解析：2211log11log1022fffff，选C．变式4：若函数2lg2+1fxax为奇函数，则实数a_______．解析：12题型五对数函数的对称性例题6：若1x满足522xx，2x满足5)1(log222xx，则21xx解析：xx252，xx25)1(log22，即xx2521，xx25)1(log2，作出12xy，xy25，)1(log2xy的图象（如图）．由图知12xy与)1(log2xy的图象关于1xy对称，它们与xy25的交点A、B的中点为xy25与1xy的交点C，47221xxxC，∴2721xx题型六对数函数的单调性例题7：求函数20.1log253yxx的递减区间．解析：先求函数的定义域，由22530xx，得12x，或3x．令2253uxx，0.1logyu，∵对数的底数0.11，∴函数0.1logyu减函数，由复合函数单调性“同增异减”的规律可知，要求原函数的单调间区间，只需求函数2253uxx（12x，或3x）的递增区间即可．∵22549253248uxxx，∴函数2253uxx（12x，或3x）的递增区间3,，所以函数20.1log253yxx的递减区间为3,．变式5：函数2log45afxxx（1a）的单调递增区间是（）A．,2B．,1C．2,D．5,分析：复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．解析：由函数2log45afxxx得2450xx，得1x或5x，根据题意，设245uxx，则229ux，图象开口向上，因函数2log45afxxx为单调增函数，由1a得：logafxu也是增函数，又因245uxx在5,上是增函数，故x的取值范围是5,，故选D．变式6：已知函数212logyxaxa在区间2,上是减函数，则实数a的取值范围是___________．分析：（1）忽视真数要求大于0的条件；（2）只注意真数所对应的二次函数的单调性而忽视外层函数的单调性．解析：令2txaxa，则有函数fx在区间2,上是减函数，可得函数t在区间2,上是增函数，且(2)0t，所以22(2)420ata，解得4a所以实数a的取值范围是4a变式7：若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________.解析：令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有g（1）＞0，a≥1，即2－a＞0，a≥1，解得1≤a＜2，即a∈[1，2).．变式8：已知函数(a0，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.()8afxlogax＝－1fx解析：当时，在[1，2]上是减函数，由在区间[1，2]上恒成立，则，解之得。若时，在[1，2]上是增函数，由在区间[1，2]上恒成立，则，且.∴，且，故不存在.综上可知，实数a的取值范围是.例题8：若函数12,2,{log,2aaxaxfxxx在R上单调递减，则实数a的取值范围是_______．分析：题考查了分段函数的单调性的应用，属于中档题，分段函数在定义域上单调递减时，每段函数都要递减，但要注意分界点处函数值的处理，在分界点处函数是可以连续的，即两个函数值是可以相等的，因此在处理分界处的函数值是容易出现错误的，做题时要注意考虑完全．例题9：已知函数log1(0,1)afxxaa，若1234xxxx，且1234fxfxfxfx，则12341111xxxx（）A．2B．4C．8D．随a值变化解析：不妨设1a＞，则令10afxlogxb（）＞，则1alogxb或1alogxb故12341111bbbbxaxaxaxa，，，，故22142311211211bbxxaxxa，；1a()8afxlogax＝－1fx(1)82aminfxloga＝－813a01afx1fx(1)82aminfxloga＝－820a－4a4a8(1,)32222212341111222221111bbbbbaxxxxaaaa故，故选A．题型七对数函数的零点问题例题10：函数0.5()2|log|1xfxx的零点个数为分析：在函数与方程的关系中，如果求解与函数零点、方程的根、图象的交点等问题时，常常要利用数形结合的思想来解决．解析：0.5()2|log|1xfxx的零点，即为方程0.52|log|1xx的根，亦即为函数0.5|log|yx与1()2xy函数的交点横坐标，因此在同一坐标系中作出函数1()2xy与0.5|log|yx的图象，由图象可知零点个数为2个例题11：已知函数f(x)＝2x，x1，log2x，x≥1，若方程f(x)－a＝0恰有一个实根，则实数a的取值范围是________.解析：作出函数y＝f(x)的图象(如图所示).方程f(x)－a＝0恰有一个实根，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝a恰有一个公共点，故a＝0或a≥2，即a的取值范围是{0}∪[2，＋∞).变式9：已知函数f(x)={kx+1,x≤0lnx,x0，则函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断正确的是（）A.当k0时，有4个零点；当k0时，有1个零点B.无论k为何值，均有2个零点C.当k0时，有3个零点；当k0时，有2个零点D.无论k为何值，均有4个零点故函数𝒚=𝒇(𝒇(𝒙))+𝟏有四个零点.应选答案A.。变式10：若定义在R上