2020高一数学新教材必修1教案学案-专题3.3-幂函数(解析版)

13.3幂函数运用一求解析式【例1】（1）幂函数𝑓(𝑥)的图像过点(2,√22)，则𝑓(8)=（）A.14B.√24C.12D.√2（2）函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．【答案】（1）B（2）f(x)＝x3.【解析】（1）由题意，设幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼(𝛼∈𝑅)，又由幂函数的图像过点(2,√22)，代入得√22=2𝑎，解得𝛼=−12，即𝑓(𝑥)=𝑥−12，所以𝑓(8)=8−12=√24.思维导图躬行实践2（2）根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3，在(0，＋∞)上是增函数，当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.【触类旁通】1．已知幂函数()fx过点(216)，，则(3)f（）A．27B．81C．12D．4【答案】B【解析】设幂函数afxx（），∵fx（）过点(2,16)，∴2164aa，，∴43381f（），故选B.2．已知幂函数f(x)的图象经过点22,2，则f(4)的值为()A．12B．116C．16D．2【答案】A【解析】设幂函数f(x)=xa，∵幂函数f(x)的图象经过点22,2，∴22=2a，即2a122，∴a=12，故12fxx，∴121442f.故选：A.运用二幂函数的性质【例2】(1)幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚2−6𝑚+9)𝑥𝑚2−3𝑚+1在(0,+∞)上单调递增，则𝑚的值为（）A.2B.3C.4D.2或4(2)幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑎2−10𝑎+23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a＝()A.3B.4C.5D.6(3)（2018·石嘴山市第三中学高一期末）已知函数22231mmfxmmx是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数(m)A．1B．2C．3D．2或1(4)（2018·四川石室中学高一期中）已知幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑚−2(𝑚∈𝑁)的图象关于原点对称，且在(0,+∞)上是减函数，若(𝑎+1)−𝑚2(3−2𝑎)−𝑚2，则实数𝑎的取值范围是（）A．(−1,3)B．(23,32)C．(−1,32)D．(−∞,−1)∪(23,32)3【答案】(1)C(2)C(3)A(4)B【解析】(1)由题意得：{𝑚2−6𝑚+9=1𝑚2−3𝑚+10,解得{𝑚=2或𝑚=4𝑚3−√52或𝑚3+√52∴𝑚=4(2)根据幂函数的性质，要使得函数为偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减函数，则a2－10a＋23为偶函数，且a2－10a＋23＜0.把每一个选项a的值代入检验得只有a=5同时满足.故选:C.(3)函数22231mmfxmmx是幂函数，211mm，解得：2m或1m，2m时，fxx，其图象与两坐标轴有交点不合题意，1m时，41fxx，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故1m，故选：A．(4)∵幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑚−2的图象关于原点对称，且在(0,+∞)上是减函数，所以𝑚−20，解得𝑚2，因为𝑚∈𝑁，所以𝑚=0或𝑚=1，∴当𝑚=0时，0−2=−2，图象关于𝑦轴对称，不满足题意；当𝑚=1时，1−2=−1，图象关于原点对称，满足题意，∴不等式(𝑎+1)−𝑚2(3−2𝑎)−𝑚2化为，(𝑎+1)−12(3−2𝑎)−12，因为函数𝑦=𝑥−12在(0,+∞)上递减，所以{𝑎+103−2𝑎0𝑎+13−2𝑎，解这个不等式，得23𝑎32，即实数𝑎的取值范围是(23,32)，故选B.【触类旁通】1．已知点232(,)32在幂函数()fx的图象上，则()fx（）A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数【答案】A4【解析】设afxx，∵点232,32在幂函数f(x)的图象上，∴32223a，解得a=−1，∴1fxx，∴1fxfxx故f(x)为奇函数。故选：A.2．幂函数2()33mfxmmx的图象关于y轴对称，则实数m_______.【答案】2【解析】函数2()33mfxmmx是幂函数，2331,mm解得：1m或2m，当1m时，函数yx的图象不关于y轴对称，舍去，当2m时，函数2yx=的图象关于y轴对称，∴实数2m．3．设11,,1,2,332，若()fxx为偶函数，则______．【答案】2【解析】由题可知，2时，2()fxx，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；11,,1,332时，不满足f(-x)=f(x),2．故答案为：-2．4．已知幂函数afxxaR的图象经过点8,4，则不等式639fx的解集为_______.【答案】5,4【解析】由题意知84a，故82log43a，由于2323fxxx为R上的偶函数且在0,上递增，故639fx即为6327fxf，所以6327x，解得54x.5．（2019·四川高一期末）已知幂函数𝑓(𝑥)的图象经过点(3,√3)，且满足条件𝑓(−𝑎)𝑓(𝑎+1)，则实数𝑎的取值范围是___．【答案】[−1,−12)5【解析】设幂函数的解析式为𝑓(𝑥)=𝑥𝛼，由题意可得：3𝛼=√3,∴𝛼=12，即幂函数的解析式为：𝑓(𝑥)=√𝑥，则𝑓(−𝑎)𝑓(𝑎+1)即：√−𝑎√𝑎+1，据此有：{−𝑎≥0𝑎+1≥0−𝑎𝑎+1，求解不等式组可得实数𝑎的取值范围是[−1,−12).运用三幂函数的图像【例3】已知函数,,abxyxyxyc的图象如图所示，则,,abc的大小关系为（）A．cbaB．abcC．cabD．acb【答案】A【解析】由图像可知，111,,022abc，得abc，故选：A..【触类旁通】1.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则()A．－1＜n＜0＜m＜1B．n＜－1,0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＞1D．n＜－1，m＞1[答案]B【解析】在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有0＜m＜1，n＜－1.62．幂函数𝑦=𝑥𝑚2−2𝑚−3(𝑚∈𝑍)的图象如图所示，则𝑚的值为()A.－1B.0C.1D.2【答案】C【解析】由图象上看，图象不过原点，且在第一象限下降，故𝑚2−2𝑚−30，即−1𝑚3且𝑚∈𝑍；又从图象看，函数是偶函数，故𝑚2−2𝑚−3为负偶数，将𝑚=0,1,2分别代入，可知当𝑚=1时，𝑚2−2𝑚−3−4，满足要求．故选C.3．当11,,1,32{}时，幂函数yx的图象不可能经过的象限是A．第二象限B．第三象限C．第三、四象限D．第二、四象限【答案】D【解析】因为1yx经过第一、三象限；12yx经过第一象限；1yx经过第一、三象限；3yx经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.运用四比较幂的大小【例4】比较下列各组数中两个数的大小：(1)1312与1412；(2)－23－1与－35－1；(3)0.2514与6.2514；(4)0.20.6与0.30.4.(5)230.5与350.5；(6)－3.143与－π3；(7)1234与3412.【答案】见解析【解析】(1)∵y＝12x是[0，＋∞)上的增函数，且13＞14，∴1312＞1412.(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，且－23＜－35，∴－23－1＞－35－1.7(3)0.2514＝1414＝212，6.2514＝2.512.∵y＝x12是[0，＋∞)上的增函数，且2＜2.5，∴212＜2.512，即0.2514＜6.2514.(4)由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y＝0.3x是减函数，∴0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4.(5)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴230.5＞350.5.(6)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14＜π，∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(7)∵y＝12x是减函数，∴1234＜1212.y＝12x是[0，＋∞)上的增函数，∴3412＞1212.∴3412＞12341．已知幂函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象通过点(2,2√2)，则该函数的解析式为（）A.𝑦=2𝑥12B.𝑦=𝑥12C.𝑦=𝑥32D.𝑦=12𝑥52【答案】C【解析】设幂函数的解析式为𝑦=𝑥𝑎.∵幂函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象过点(2,2√2)，∴2√2=2𝑎，∴𝑎=32，∴该函数的解析式为𝑦=𝑥32.2．如图所示的曲线是幂函数𝑦=𝑥𝛼在第一象限的图象，已知𝛼∈{−4,−14,14,4}，相应曲线𝐶1,𝐶2,𝐶3,𝐶4对应的𝛼值依次为（）A．−4，−14，14，4B．4，14，−14，−4C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−14【答案】B融会贯通8【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线𝐶1,𝐶2,𝐶3,𝐶4对应的𝛼值依次为4，14，−14，−4．故选B．3．已知α∈112,1,,,1,2,322，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______．【答案】－1【解析】因为幂函数y＝xα是奇函数，知α可取－1，1，3.又y＝xα在(0，－∞)上是减函数，所以α0，即α＝－1.故本题答案为－1.4．（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二期末）幂函数221()(21)mfxmmx在(0,)上为增函数，则实数m的值为_______．【答案】2【解析】由函数22121mfxmmx是幂函数，则2211mm，解得0m或2m；当0m时，1fxx，在0,上为减函数，不合题意；当2m时，3fxx，在0,上为增函数，满足题意．故答案为：2．5．（2019·福建高二期末（文））已知幂函数()fxx的图像过点(2,2)，则()fx的定义域是________.【答案】[0,)【解析】由于()fxx经过点2,2，代入得1=2，所以fx的定义域是0,.6．（2019·辽宁高二月考（文））已知幂函数nfxmx的图象经过点2,16，则mn_______.【答案】5【解析】由题意，幂函数nfxmx，所以1m，即nfxx，又由函数nfxx的图象经过点2,16，即216n，所以4n，则5mn.7．对幂函数32()fxx有以下结论（1）()fx的定义域是{|0,}xxxR；（2）()fx的值域是(0,)；（3）()fx的图象只在第一象限；（4）()fx在(0,)上递减；9（5）()fx是奇函数．则所有正确结论的序号是______.【答案】（2）（3）（4）【解析】对幂函数32fxx，以下结论（1）fx的定义域是0,xxxR，因此不正确；（2）fx的值域是0,，正确；（3）fx的图象只在第一象限，正确；（4）fx在0,上递减，正确；（5）fx是非奇非偶函数，因此不正确．则所有正确结论的序号是（