1、谢惠民习题解答-75页-文字版

MathematicalanalysisexercisesclasslecturesAnswer数学分析习题课讲义解答Don’tgiveup,nevergiveup.作者：此号归我啦制作时间：2016.07.10Email:[e-mail]:1.00内容简介本书由《数学分析习题课讲义》读者根据自己收集的答案所编写。不公开。第一版前言读者自身水平非常有限，此解答大部分来自于网友和其他资料，若来自于其他资料则给出来源，若来自于网友则不给出来源(保护网友隐私)。此号归我啦[e-mail]2016年07月目录1引论11.1几个常用的不等式.........................................12数列极限82.1数列极限的基本概念........................................82.2收敛数列的基本性质........................................82.3单调数列...............................................92.4Cauchy命题与Stolz定理......................................92.5自然对数的底e和欧拉常数...................................92.6由迭代生成的数列.........................................92.7第一组参考题............................................92.8第二组参考题............................................183实数系的基本定理233.1确界的概念与确界存在原理...................................233.2闭区间套定理............................................233.3凝聚定理..............................................233.4Cuachy收敛准则..........................................233.5覆盖定理...............................................233.6数列的上极限与下极限.......................................233.7第一组参考题............................................233.8第二组参考题............................................234函数极限244.1函数极限的定义...........................................244.2函数极限的基本性质........................................244.3两个重要极限............................................244.4无穷小量、有界量、无穷大量和阶的比较............................244.5参考题................................................245连续函数255.1连续性的概念............................................255.2零点存在定理与介值定理.....................................255.3有界性与最值定理.........................................255.4一致连续性与Contor定理.....................................255.5单调函数...............................................255.6第一组参考题............................................255.7第二组参考题............................................25–II/68–目录6导数与微分266.1导数及其计算............................................266.2高阶导数及其他求导法则.....................................266.3一阶微分及其形式不变性.....................................266.4第一组参考题............................................266.5第二组参考题............................................317微分学的基本定理337.1微分学中值定理...........................................337.2Taylor定理..............................................337.3第一组参考题............................................337.4第二组参考题............................................388微分学的应用419不定积分4210定积分4311积分学的应用4412广义积分4512.1第二组参考题............................................4513数项级数4614函数项级数与幂级数4715Fourier级数4816无穷级数的应用4916.1积分计算...............................................4916.2级数求和计算............................................4917高维空间的点集与基本定理5418多元函数的极限与连续5519偏导数与全微分5620隐函数存在定理与隐函数求导5721偏导数的应用5822重积分5923含参量积分6023.1含参量常义积分...........................................6023.2含参量广义积分...........................................6024曲线积分65目录–III/68–25曲面积分6626场论初步67参考文献68–IV/68–目录第1章引论1.1几个常用的不等式2题目1.1.1:(1)证明：当2⩽h⩽1时Bernoulli不等式.1Ch/n⩾1Cnh仍然成立;(2)证明：当h⩽0时成立不等式.1Ch/n⩾n.n1/h22，并推广之；(3)证明：若ai1.iD1,2,:::,n/且同号，则成立不等式nYiD1.1Cai/⩾1CnXiD1ai+证明:(1).1Ch/nj1Chjnj1ChjD1Ch1Cnh(2).1Ch/nD1CnhC12n.n1/h2C


Chn12n.n1/h2,推广.1Ch/n1CnhC12n.n1/h2(3)nD1时显然成立,设nDk时不等式成立,则nDkC1时,kC1YiD1.1Cai/.1CkXiD1ai/.1CakC1/D1CkC1XiD1aiCkXiC1aiakC11CkC1XiD1ai.□2题目1.1.2:阶乘nŠ在数学分析以及其他课程中经常出现，以下是几个有关的不等式，他们都可以从平均值不等式得到：(1)证明：当n1时成立nŠnC12;(2)利用.nŠ/2D.n
1/..n1/
2/:::.1
n/证明：当n1时成立nŠnC2p6I(3)比较（1）和（2）中两个不等式的优劣，并说明原因；(4)证明：对任意实数r成立nPkD1kr!n⩾nn.nŠ/r.(在第二章的参考题中还有关于nŠ的不等式。这方面的深入讨论见本书11.4.2小节的Wallis公式和Stirling公式.)+证明:–2/68–第1章引论(1)nŠ1C2C3C


CnnnD1Cn2n,显然取不到等号.(2)由.nŠ/2D.n
1/..n1/
2/


.1
n/n
1C.n1/
2C


C1
nnn,而n
1C.n1/
2C


C1
nDn
1Cn
2C


Cn
n.12C


.n1/n/Dn.1C2C


n/.12C22C


n2/C.1C2C


Cn/Dn.nC1/2216n.nC1/.2nC1/D16n.nC1/.nC2/所以.nŠ/2n.nC1/.nC2/6nn,故nŠnC2p6n.(3)答：(2)较优,当n越大时,.2/的右边比.1/的右边更小.(4)nXkD1krnnvuutnYkD1krDnp.nŠ/r□2题目1.1.3:证明几何平均值-调和平均值不等式：若ak0,kD1,2,:::,n,则有nYkD1ak!1n⩾nnPkD11ak.+证明:令bkD1ak,再由nXkD1bknnvuutnYkD1bk即得.□2题目1.1.4:证明：当a,b,c为负整数时成立3pabc⩽sabCbcCca3⩽aCbCc3.(这个结果还可以推广到n个非负数的情况.)+证明:证明：rabCbcCac3p3pab
bc
acD3pabc,故不等式左边成立;rabCbcCac3aCbCc3”3.abCbcCac/.aCbCc/2”a2Cb2Cc2abacbc0,此式显然成立,即不等式右边得证.综上,证毕.□2题目1.1.5:证明以下几个不等式：(1)jabj⩾jajjbj和jabj⩾jajjbj(2)ja1jnPkD2jakj⩽nPkD1ak⩽nPkD1jakj;又问：左边可否为jakjnPkD2jakj?(3)aCb1CjaCbj⩽jaj1CjajCjbj1CjbjI(4)j.aCb/nanj⩽.jajCjbj/njajn.1.1几个常用的不等式–3/68–（特别要注意其中的（1）是应用三点不等式时常见的形式.）+证明:(1)由jaCbjjajCjbj得jajDjabCbjjabjCjbj,故有jabjjajjbj和jabjjbjjaj.所以jabjjjajjbjj.(2)右边的不等式可由三点不等式直接推得,左边：ja1.nXkD2ak/jja1jjnXkD2akjja1jnXkD2jakj.不成立.例如a1D0,a2D1,a3D2,则ja1.a2Ca3/jDj012jD3,ja1Ca2Ca3jD1,得到31,显然错误.(3)当jaCbjD0时,显然成立,当jaCbj¤0时,jaCbj1CjaCbjD11C1jaCbj11C1jajCjbjDjajCjbj1CjajCjbjDjaj1CjajCjbjCjbj1CjajCjbjjaj1CjajCjbj1Cjbj证毕.(4)jC1nan1bC


CCn1nabb1CbnjjC1nan1bjC


CjCn1nabb1jCjbnjD.jajCjbj/njaj.□2题目1.1.6:试按下列提示，给出Cauchy不等式的几个不同的证明：(1)用数学归纳法.(2)用Lagrange恒等式nXkD1a2knXkD1b2knXkD1jakbkj!2D12nXkD1nXiD1.jakjjbijjaijjbkj/2I(3)用不等式jABj⩽A2CB