(完整版)基本初等函数知识点

指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算（一）根式的概念1、如果,,,1nxaaRxRn，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．2、式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a．3、根式的性质：()nnaa；当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，(0)||(0)nnaaaaaa．（二）分数指数幂的概念1、正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmnaaamnN且1)n．0的正分数指数幂等于0．2、正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,mmmnnnaamnNaa且1)n．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．3、a0=1(a0)ap1/ap(a0；pN)4、指数幂的运算性质(0,,)rsrsaaaarsR()(0,,)rsrsaaarsR()(0,0,)rrrabababrR5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。二、指数函数的概念一般地，函数)1a,0a(ayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：○1指数函数的定义是一个形式定义；○2注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1．三、指数函数的图象和性质函数名称指数函数定义函数(0xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R值域（0,+∞）过定点图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数01xayxy(0,1)O1y01xayxy(0,1)O1y函数值的变化情况y＞1(x＞0),y=1(x=0),0＜y＜1(x＜0)y＞1(x＜0),y=1(x=0),0＜y＜1(x＞0)a变化对图象影响在第一象限内，a越大图象越高，越靠近y轴；在第二象限内，a越大图象越低，越靠近x轴．在第一象限内，a越小图象越高，越靠近y轴；在第二象限内，a越小图象越低，越靠近x轴．注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，)1a0a(a)x(fx且值域是)]b(f),a(f[或)]a(f),b(f[（2）若0x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx（3）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f（4）当1a时，若21xx，则)x(f)x(f21四、底数的平移对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。即“上加下减，左加右减”五、幂的大小比较常用方法（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。注意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。例如：y1=34,y2=35（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。例如：y1=（1/2）4,y2=34,（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较①对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。②在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向时，ax大于1，异向时ax小于1.对数函数及其性质一、对数与对数的运算（一）对数1．对数的概念：一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：Nxalog（a—底数，N—真数，Nalog—对数式）说明：①注意底数的限制0a，且1a；②xNNaaxlog；③注意对数的书写格式．Nalog两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数Nlg；②自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．指数式与对数式的互化幂值真数ba＝NlogaN＝b底数指数对数（二）对数的运算性质如果0a，且1a，0M，0N，那么：①Ma(log·)NMalog＋Nalog；○2NMalogMalog－Nalog；○3naMlognMalog)(Rn．④MaMannlog1log⑤bbaalog⑥babalog⑦loga1=0⑧logaa=1⑨alogaN=N⑩logaab=b注意：换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）．推论(利用换底公式)①bmnbanamloglog；②abbalog1log．二、对数函数1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．②对数函数对底数的限制：0(a，且)1a．三、对数函数的图像和性质：函数名称对数函数定义函数log(0ayxa且1)a叫做对数函数图象1a01a定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y．奇偶性非奇非偶01xyO(1,0)1xlogayx01xyO(1,0)1xlogayx单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxa变化对图象影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．在第一象限内，a越大，图象越靠近x轴在第四象限内，a越大，图象越靠近y轴在第一象限内，a越小，图象越靠近x轴在第四象限内，a越小，图象越靠近y轴四、对数的平移、大小比较与指数函数类似反函数一、反函数定义设函数()yfx的定义域为A，值域为C，从式子()yfx中解出x，得式子()xy．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy表示x是y的函数，函数()xy叫做函数()yfx的反函数，记作1()xfy，习惯上改写成1()yfx．二、反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()yfx中反解出1()xfy；③将1()xfy改写成1()yfx，并注明反函数的定义域．三、反函数的性质①原函数()yfx与反函数1()yfx的图象关于直线yx对称．②函数()yfx的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定义域．③若(,)Pab在原函数()yfx的图象上，则'(,)Pba在反函数1()yfx的图象上．④一般地，函数()yfx要有反函数则它必须为单调函数．幂函数及其性质一、幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．二、幂函数的图象函数特征性质y=xyx2yx3yx12yx1定义域RRR[0，）{|}xx0值域R[0，）R[0，）{|}yy0x[)0，增x()0，增单调性增x(]，0减增增x()，0减所过定点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）三、幂函数的性质1、图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．①幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；②幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；③幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．2、过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．3、单调性：①如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．②如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．4、奇偶性：⑴当为奇数时，幂函数为奇函数，⑵当为偶数时，幂函数为偶函数．⑶当qp（其中,pq互质，p和qZ），①若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数，②若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，③若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数．5、图象特征：幂函数,(0,)yxx，⑴当1时，①若01x，其图象在直线yx下方，②若1x，其图象在直线yx上方，⑵当1时，①若01x，其图象在直线yx上方，②若1x，其图象在直线yx下方．练习题