中南大学2016期末考试概率论

2016年中南大学本科生期末统一考试概率论与数理统计（满分：100分考试时间：100分钟）考生注意事项1．考试日期与时间：2016年1月6日10：00—11：402．答题前，考生须在试卷的指定位置上填写考生姓名、考生学院、专业班级、座位号、学号、任课老师等信息。3、答题时，直接将答案书写在试题卷的相应位置上，在草稿纸上答题无效。4、填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰。5、考试结束后，将试题卷与草稿纸按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生学号考生姓名座位号考生学院专业班级（以下信息由阅卷老师填写）题号一二111213141516总分得分评卷人一、选择题：1~5小题，每小题3分，共15分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将答案填写在对应的括号内。1、对于任意两事件A、B，同时出现的概率为0PAB，则（A）A、B互不相容（B）AB是不可能事件（C）AB未必是不可能事件（D）00PAPB或2、设1Fx、2Fx是随机变量1X、2X的分布函数，为使12FxaFxbFx是某一个随机变量的分布函数，则下列值中可以取a、b分别为（A）35，25（B）23，23（C）12，32（D）12，323、设随机变量X、Y相互独立同分布，且1112PXPY，1112PXPY，下列各式成立的是（A）12PXY（B）1PXY（C）104PXY（D）114PXY4、设随机变量Xtn，1,YFn，给定00.5，常数c满足PXc，则2PYc（A）（B）1（C）2（D）125、设随机变量X、Y不相关，2EX，1EY，3DX，则2EXXY（A）-3（B）3（C）-5（D）5二、填空题：6~10小题，共15分。请将答案填写在对应的横线上。6、设A、B两个事件，且0.4PA，0.5PB，0.2PAB，则PAB7、设随机变量X、Y的数学期望均为2，方差分别为1和4，相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式6PXY_______________。8、设一批零件的长度服从正态分布2,N，其中、均未知。现从中抽取9个零件，测得29211iixxcm，则2置信度为0.9的置信区间为__________。9、设12,,,nXXX是总体,XBnp的一个样本，X、2S是样本均值和样本方差，若2XkS为2np的无偏估计量，则k=_________________。10、设总体,XUab，,ab是未知参数，12,,,nXXX是总体X的一个样本，则a的极大似然估计量是__________________。三、计算题：11~15小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。。11、（本小题满分13分）某实验室在器皿中繁殖出k个细菌的概率为22!kkPek，且所繁殖的每个细菌为甲类菌或乙类菌的概率相等。（1）（8分）求器皿中所繁殖的都是甲类菌的概率；（2）（5分）已知所繁殖的细菌全部为甲类菌，求恰有两个甲类菌的概率；12、（本小题满分16分）设,XY的概率密度为,0,0,0,xycexyfxy其他。（1）（3分）求常数c；（2）（7分）判断随机变量X、Y是否相互独立；（3）（6分）设min,UXY，求U的概率密度Ufu；13、（本小题满分14分）天猫商城对某种商品的销售量做了统计，得知该商品的需求量X服从正态分布2,N，且日平均销售量为40件，销售量在30到50之间的概率为0.5。商店每售出一件商品获利70元，若进货量过大，则因资金积压，未卖出的商品每件损失100元。（注：0.6750.75,0.220.588）（1）（6分）求、的值；（2）（8分）为使平均利润最大，应该进货多少件？14、（本小题满分15分）设0.5、1.25、0.8、2.00是来自总体X的一个样本的样本值，且lnYX服从正态分布,1N。（注：正态分布2,N的分布函数为22212xxFxe）（1）（4分）求随机变量X的概率密度函数；（2）（7分）求X的数学期望与的矩估计值；（3）（4分）求的置信度为0.95的置信区间；15、（本小题满分12分）设12,,,nXXX是总体,9XN的一个样本，其中是未知参数，有假设检验问题00:H，10:H。（注：0.050.0251.65,1.96zz）（1）（5分）求对于显著性水平0.05的0H的拒绝域；（2）（7分）若10，求上述检验犯第二类错误的概率。2016年中南大学本科生期末统一考试参考答案与评分细则概率论与数理统计一、选择题（每小题3分，共15分）1～5：CAACD二、填空题（每小题3分，共15分）6、0.37、1128、220.0250.97511,9、-110、12min,,nXXX三、计算题（共5小题，共70分）11、（本小题满分14分）（1）设器皿中繁殖出k个细菌为事件1,2,kAk，器皿中繁殖的都是甲类菌为事件B，则22!kkPAek、2!kkePAPBAk…………………………2分由全概率公式：2111!kkkkPBPAPBAek……………………4分由01111!!kkeekk，故21PBee…………………………8分即器皿中所繁殖的都是甲类菌的概率为21ee（2）依题意即为求2PAB………………………………………………………10分由贝叶斯公式：2222212!121ePBAPAPABPBeee………13分12、（本小题满分16分）（1）依题意(xy)00,111fxydxdycdxedyc……………3分（2）先求X、Y的边缘分布概率密度0,0,00,000xyxXedyxexfxxx………………………………………6分0,0,00,000xyyYedxyeyfyyy……………………………………9分故有,XYfxfyfxy，即随机变量X、Y是否相互独立。………10分（3）11min,UFuPUuPUuPXYu…………………11分1,01,0,0xyuudxedyuPXuYuu………………………14分21,00,0ueuu……………………………………………………………15分故22,00,0uUeufuu…………………………………………………16分13、（本小题满分15分）（1）依题意40，且30500.5PX………………………………2分401010100.50.5XP………………………4分101010210.50.750.675…………………………5分得14.8…………………………………………………………………6分（2）设进货量为a（件），所得利润为随机变量Q则70,170100,aaxQxxaax…………………………………………………8分∴EQQxfxdx17010070aaxafxdxafxdx70170aaaxfxdxafxdx……………………………10分故70170170170adEQafaafafxdxda7017070170afxdxFa……………………………12分令0dEQda，得74040117aaFa………………13分即401017a，得31.332a……………………………………14分为使平均利润最大，应该进货32件14、（本小题满分15分）（1）lnyXFxPXxPexPyx……………………………1分2ln21,020,0xxedxxx………………………………………………2分故2ln21,0'20,0xXXexfxFxxx……………………………4分（2）2ln2012xXEXxfxdxedx………………………5分22111ln22221122tttxteedxeedxe………………………8分令EXX，即12eX，故1ln2X……………………………………9分带入数据有0.51.250.82.001.13754X…………………………………10分故1ln0.372X……………………………………………………………11分（3）设周枢量/Yzn…………………………………………………………12分故的置信度为0.95的置信区间为0.0250.025,YzYznn…………13分带入数据得0.98,0.98……………………………………………………15分15、（本小题满分12分）（1）令00/3/XXznn则拒绝域为00.0251.963/Xzzn（2）01015.88PHHPXn接受为真011011.963/3/1.963/XPnnn