第9章-可靠性数据检验与分布参数估计

第9章数据检验与分布参数估计9.1可靠性试验与可靠性数据9.1.1可靠性试验可靠性分析需要可靠性数据。可靠性数据可以通过记录现场失效获得，也可以通过可靠性试验获得。可靠性试验是指为了获得可靠性数据、验证及提高产品的可靠性水平而进行的试验。现场试验反映的是产品在使用条件下实际失效情况，最能说明产品的可靠性水平。实验室试验是在实验室内模拟现场情况进行的试验。在实验室中也可以进行影响寿命的单项因素试验，还可以进行加速试验。第9章可靠性数据检验与分布参数估计9.1.1可靠性试验无论通过那种途径获取可靠性数据，要等到全部观测对象失效，都需要很长的时间。根据统计学理论，在只有部分试样失效时，也能获得有关的可靠性指标。因而，视可靠性试验的目的不同，有些试验可以在进行到一定时间即可停止。按试验截止情况，可分为定数截尾和定时截尾试验两种。定数截尾试验是试验到预定的失效样品数时停止试验。定时截尾试验是试验到规定的时间时停止试验。根据试验中试样失效后是否用新试样替换，可分为有替换试验和无替换试验。截尾数据以可划分为：Ⅰ型截尾（定时截尾）：在一项试验中，对多件样品同时进行试验，出现失效后也可以补充新样品，试验在一段预定时间后结束。例如，在试验台上同时测试100个轴承，并且在1000小时后结束测试，而不管发生失效的轴承数量有多少，这样的试验就是定时截尾试验。在这个例子当中，试验时间是固定的，而失效数据数量为随机变量。II型截尾（定数截尾）：试验中最初有多个样品，试验到指定数量的样品失效时结束。例如，在在试验台上同时对100个轴承进行试验，并且在出现30个失效后终止试验。这样的试验就是定数截尾试验。在这个例子中，失效样品的数量是事先指定的，而试验时间是随机变量。以上属于右截尾的情况，即如果一个样品失效的时间未知的原因是，该样品在试验结束时还没有失效，那么就产生了右侧被截尾的数据。如果一个样品已经失效，但不能确定准确失效时间的原因是不知道该样品是何时投入试验的，那么就产生了左截尾数据。单一截尾与多重截尾：单一截尾是只有一个截尾点。如果100个传感器置于一个检测台上，检测在1000小时后完成，在1000小时处有一个截尾点。如果在测试1000小时后有20个没有失效，测试1200小时后还有15个未失，这时就有2个截尾点，结果数据是多重截尾的。如果确切的失效时间未知，但是在一个时间区间内失效的次数被记录到了，那么这就是区间数据或成组数据。四种组合形式：⑴有替换定时截尾寿命试验；⑵有替换定数截尾寿命试验；⑶无替换定时截尾寿命试验；⑷无替换定数截尾寿命试验。9.1.2可靠性试验数据可靠性数据多种多样，很重要的一类是截尾数据。通过试验或现场记录获得的数据可能既包括失效数据，也包括不失效数据。以下表种的数据为例，在试验台上进行八个产品的试验；其中的三个失效了，五个到试验结束时还没有失效。样品序号失效时间1352453554＞605＞606＞607＞608＞60很明显，只用三个失效样本平均值及标准偏差不能用来估算这个案例中的分布参数。这三个样本平均值为（35+45+55）/3=45。存活下来的五个数据中每个对应的失效时间都大于60，因此真实的样本均值要比45大的多。因此，需要处理截尾试验数据的方法。9.1.3截尾数据统计推断假设观测母体包括n个样本，在t0=0时投入运行。运行过程中，有些样本发生了失效，也会有样本退出运行。记录的数据包括每个失效产品的失效时间和各失效发生前仍在运行的样本数量。令发生失效的时间为t1,t2,……,tk按从不到大的顺序排列，ni为时刻ti之前仍在运行的样本数，wi为在(ti-1)－ti时间段内退出运行（并未发生失效）的样本数。显然，n1=n-w1,n2=n1-1-w2，以此类推。要根据这样的观测数据估计样本的可靠度，有如下的Kaplan-Meier公式：(9-1){:}1()(1)iittiRtn9.1.4参数估计1.矩估计一阶原点矩等于分布的平均值：(9-2)对均值的二阶矩等于分布的方差：(9-3)其中是分布均值。对于正态分布等，这些矩提供了参数的直接估计量。对于威布尔、对数正态和伽玛分布等，分布参数需要通过令样本矩等于理论矩来解出分布参数。所需矩的数目取决于被估计的参数的数目。()()()iiixfxxExxfxdx－如果是离散随机变量｛　如果x是连续随机变量　22222()()()iiixfxXExxfxdxX如果是离散的如果是连续的2.极大似然估计极大似然估计法是一种应用广泛的估计参数的方法。其基本原理是，通过使已知样本出现的概率最大化的方法来确定参数值。令是服从概率密度函数的独立随机变量，其中是唯一的分布参数。那么(9-4)就是随机变量的联合分布或似然函数。分布参数的极大似然估计值，是使似然函数取最大值的。),()...,(),();,...,(2121nnxfxfxfxxxLˆnxxx,...,,21),(xf为了便于计算，通常先将似然函数取自然对数，即(9-5)解方程(9-6)即可求得分布参数的估计值。121ln(,,...;)ln(,)nniiLxxxfx12ln(,,...,,)0nLxxx对于概率密度函数为f(x,)，累积分布函数为F(x,)的随机变量，如果只知道其样本中的前k个顺序统计量x(1),x(2),…,x(k)，而关于其它n-k个样本的已知信息只是大于x(k)，这种情况下的似然函数形式为(9-7)12()()1(,,...;)(,)[1(,)]knknikiLxxxfxFx如果只知道第i个样本在运行时间段[0-xi]（xi为已知量）内是否失效，不知道准确的失效时间，则有如下似然函数(9-8)式中，k为失效样本数，n-k为未失效样本数。1211(,,...;)(,)[1(,)]knniiiikLxxxFxFx9.1.5分布类型假设检验分布类型的判断有理论法和统计法两种。理论法是根据失效机理制定的数学模型或根据某种分布的性质推导出来的。例如，失效率为常数的寿命分布为指数分布；失效由“最弱”环节决定的寿命分布为威布尔分析或极值分布；受很多独立随机因素的影响，且没有一个因素起主导作用，这种分布为正态分布等。统计法是根据大量试验数据经统计得出的。很多同类性能在以往大量试验的基础上已经验证了其分布。例如，几何尺寸、材料性能、硬度等多服从正态分布；零件疲劳寿命则服从对数正态分布或威布尔分布等。在使用统计法时，对分布未知的情况下应做大样本的试验，以判定其分布类型；对已有经验参考的情况则可做较小样本的试验，假设其分布类型再进行相应的拟合性检验。下面介绍通用的2检验法和K-S检验法。9.2检验法检验法适用于大样本试验数据。其基本思想是，将随机试验的全部可能结果划分为k个互不相容的事件A1，A2，…，Ak，在假设成立的条件下计算P(Ai)=pi，i=1,2,…,k。在n次试验中，事件Ai出现的频率ni/n与pi常有差异。但由大数定律可知，如果试验次数很多，在假设成立的条件下，｜ni/n-pi｜的值应该很小。由此，检验法首先计算理论频数与实际频数间的差异，将统计量的观测值与临界值比较。满足条件则接受原假设；否则拒绝原假设。公式如下：（9-9）22)1()(2122mknpnpkiiii2式中:n-样本数；k-分组数，按样本大小取ｋ＝７～１４；νｉ-第ｉ组的实际频数，νｉ≥５；ｐｉ-第ｉ组的理论频数（概率）；ｍ-未知参数的数目；α-显著性水平；-临界值，可由分布表查出。)(22)1()(2122mknpnpkiiii例9-1某220件产品的失效时间记录如下所示，试检验该产品的寿命是否服从指数分布。产品失效时间的数据记录时间t：0-100-200-300-400-500-600-700-800-900失效数i：3950353228181242解假设该产品的寿命服从指数分布，参数λ未知。取每组的中值作为该组时间的表征值ti,平均寿命的点估计为失效率λ的点估计为假设H0：293)2850501503950(22011ˆ1kiiitnt2931ˆ1ˆtt-293()1eFt为了使用检验法，首先对数据进行分组。由于每组中实际频数不宜少于5个，故将前7段时间各作为一组，最后两段时间合为一组。总计组数k=8，在7-14范围内。具体计算列表如下。例9-1计算列表组号iinpi=220piνi–npi1390.282762.194-23.194537.9628.6502500.205545.2104.79022.9440.5073350.146132.1402.8608.1800.254432528618712862)`e1()e1(293t-293t-1-iiip2)(iinpiiinpnp2)(统计量为取显著性水平，由，查表，得由于，故拒绝原假设，既不能认为该产品的寿命服从指数分布。2kiiiinpnp122905.36)(10.061181mkv64.10)6()(210.02)6(210.029.3K-S检验法K-S检验法（亦称D检验法）也是比较样本经验分布函数Fn(x)与总体分布函数F0(x)。但不是在划分的区间上考虑样本经验分布函数Fn(x)与假设的总体分布函数F0(x)之间的偏差，而是在每一点上考虑它们之间的偏差。K-S检验法比2检验法精确。但要求所检验的分布中不含未知参数，且要假定总体分布函数为连续函数。具体做法是，先将n个试验数据由小到大的次序排列。根据假设的分布，计算每个数据对应的分布函数F0(xi)，并将其与经验分布函数Fn(xi）比较。其中，差的最大绝对值就是检验统计量Dn的观测值。将Dn与临界值Dn,比较。满足条件，接受原假设；否则拒绝原假设。条件如下：（9-10）式中F0(x)——原假设的分布函数；Fn(x)——经验分布函数。具体计算公式如下（9-11）（9-12）Dn,a——临界值，由K-S检验临界值表查得。0,sup()()nnnxDFxFxD110,(),1,niinxxiFxxxxnxx0011Dmax(),()niiiniiFxFxnn例9-2测得某合金9个试件的强度极限数据453，436，429，419，405，416，432，423，440MPa。检验该合金的强度极限是否服从均值μ=428MPa，标准差σ=15MPa的正态分布。解用X表示该合金的强度极限，将试验数据按由小到大次序排列。假设的X分布函数为式中的可由正态分布表查得。具体计算过程如下：)15428(de2151)(22152428)-(x-xΦxxFx)(Φ序号ixi(i-1)/ni/ndi14050.06300.0000.1110.048124160.21190.1110.2220.100934190.27430.2220.3330.0587………由上述中计算结果知，Dn的观测值按式(9-2)取显著性水平α=0.10，由表K-S检验表查得。由于，故接受原假设，即认为该合金的强度极限服从μ=428MPa，σ=15MPa的正态分布。)15428()(xΦxFn001D=max{d}max(),()0.1009iiiiiFxFxnn38764.0,nD,nnDD9.4回归分析检验法对于给定的n个数据对（xi,yi），按最小二乘原理拟合出一条直线（9-13）称为回归直线。斜率称为回归系数，截距为常