初中八年级数学第十三章轴对称单元检测练习题(含答案)-(22)

初中八年级数学第十三章轴对称单元检测试卷练习题（含答案）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE相交于点O，请判断△OEF的形状，并说明理由.【答案】△OEF的形状为等腰三角形，理由见解析【解析】【分析】先证明△ABF≌△DCE，得出∠AFB=∠DEC，由等角对等边得出OE=OF，即可得出结论．【详解】△OEF的形状为等腰三角形．理由如下：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．在△ABF与△DCE中，ABDCBCBFCE，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠AFB＝∠DEC．∴OE＝OF，即△OEF的形状为等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．92．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，ED⊥DF，且DE、DF分别交AC、BC于E、F．求证：=CFCDAEAD．【答案】证明见解析.【解析】【分析】由Rt△ABC中，CD⊥AB，得出∠FCD=∠A，利用互余关系得出∠CDF=∠ADE，证明△ADE∽△CDF，利用相似比证明结论【详解】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠FCD+∠ACD=∠A+∠ACD=90°，∴∠FCD=∠A，同理可证∠CDF=∠ADE，∴△ADE∽△CDF，∴CFCDAEAD．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用互余关系证明角相等，再证明三角形相似93．如图，ABC各顶点的坐标分别是2,3A，3,1B，1,2C．（1）求出ABC的面积；（2）①画出ABC关于x轴对称的ABC，并写出A，B，C三点的坐标（其中A，B，C分别是,,ABC的对应点，不写画法）；②在y轴上作出一点P，使PAPB的值最小（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】（1）112；（2）图见解析，(2,3)A、(3,1)B、(1,2)C；（3）图见解析【解析】【分析】（1）将三角形放入长方形中，长方形面积减去三个小三角形的面积即可得到△ABC的面积；（2）①根据关于x轴对称的点的特点，描出A，B，C，再连线即可，根据A，B，C的坐标写出A，B，C即可；②根据轴对称思想，作点A关于y轴的对称点A，连接BA交y轴于点P即可．【详解】解：（1）11111541235432222ABCS，∴ABC的面积112，（2）①ABC关于x轴对称的ABC如下图所示，(2,3)A、(3,1)B、(1,2)C②如下图所示，点P为所求，【点睛】本题考查了在坐标系中求三角形的面积，画轴对称图形，及最短路径问题，解题的关键是理解轴对称图形的做法及最短路径的原理．94．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足1a+（a+b+3）2＝0，平等四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝kx经过C、D两点．（1）a＝，b＝；（2）求D点的坐标；（3）点P在双曲线y＝kx上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q的坐标；（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，MNHT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】（1）﹣1，﹣2；（2）D（1，4）；（3）Q1（0，6），Q2（0，﹣6），Q3（0，2）；（4）不变，MNHT的定值为12，证明见解析【解析】【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值；（2）故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；（3）由（2）知k＝4可知反比例函数的解析式为y＝4x，再由点P在双曲线y＝4x上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，4x），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；（4）连NH、NT、NF，易证NF＝NH＝NT，故∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，∠TNH＝∠TAH＝90°，MN＝12HT由此即可得出结论.【详解】解：（1）∵1a+（a+b+3）2＝0，且1a≥0，（a+b+3）2≥0，∴1030aab，解得：12ab,故答案是：﹣1；﹣2；（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），∵E为AD中点，∴xD＝1，设D（1，t），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴C（2，t﹣2）．∴t＝2t﹣4,∴t＝4,∴D（1，4）；（3）∵D（1，4）在双曲线y＝kx上，∴k＝xy＝1×4＝4,∴反比例函数的解析式为y＝4x，∵点P在双曲线y＝kx上，点Q在y轴上，∴设Q（0，y），P（x，4x），①当AB为边时：如图1所示：若ABPQ为平行四边形，则12x＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；如图2所示：若ABQP为平行四边形，则122x，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；②如图3所示：当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；∴122x，解得x＝﹣1，∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；综上所述，Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；（4）如图4，连接NH、NT、NF，∵MN是线段HT的垂直平分线，∴NT＝NH，∵四边形AFBH是正方形，∴∠ABF＝∠ABH，在△BFN与△BHN中，BFBHABFABHBNBN,∴△BFN≌△BHN（SAS），∴NF＝NH＝NT，∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，所以，∠ATN+∠AHN＝180°，所以，四边形ATNH内角和为360°，所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°，∴MN＝12HT，∴MNHT＝12,即MNHT的定值为12.【点睛】此题考查算术平方根的非负性，平方的非负性，待定系数法求函数的解析式，正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质.95．已知如图,在△ABC中,AB=AC,点D是线段BC上一个动点,以AD为腰在线段AD的右侧作△ADE,且AD=AE。(1)如图①,当∠BAC=∠DAE=90°时,试判断线段BD和CE有什么关系,并给出证明:(2)在(1)的条件下,若BC=4.试判断四边形ADCE的面积是否发生变化,若不变,求出四边形ADCE的面积;若变化,请说明理由;(3)如图②,若∠BAC=∠DAE=120°,BC=4,试探索△DCE的面积是否存在最大值,若存在,求出此时∠DEC的度数,若不存在,请说明理由。【答案】（1）BD=CE，证明见解析；（2）不变，4；（3）存在，60°.【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等，可得∠BAD=∠CAE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；（2）由（1）得ABDACES=S，所以ADCACEADCABDABCADCES=S+S=S+S=S四边形，可得出四边形ADCE的面积不发生变化，根据等腰直角三角形的性质得出斜边BC上的高，即可求出面积；（3）由DECADE?ADCES=SS四边形ABC?ADE=SS，可得ADES的值最小时△DCE的面积存在最大值，由垂线段最短可得AD⊥BC时AD=AE的值最小，则ADES的值最小，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可求∠DEC的度数.【详解】（1）BD=CE.证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△DAB与△EAC中，{ABACBADCAEADAE∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=CE；（2）∵△DAB≌△EAC∴ABDACES=S∵ADCACEADCES=S+S四边形∴ADCABDABCADCES=S+S=S四边形，即四边形ADCE的面积不发生变化；∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=4∴Rt△ABC斜边上的高=2∴ADCES四边形ABC1S4242（3）由（2）得ADCES四边形ABCS∵DECADE?ADCES=SS四边形ABC?ADE=SS∴ADES的值最小时△DCE的面积存在最大值，由垂线段最短可得AD⊥BC时AD=AE的值最小，则ADES的值最小，如下图，∵∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC，AD=AE∴∠B=∠ACB=∠AED=30°,∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△DAB与△EAC中，{ABACBADCAEADAE∴△DAB≌△EAC（SAS），∵△DAB≌△EAC，AD⊥BC∴∠AEC=∠ADB=90°∴∠DEC=90°-30°=60°.故答案为：（1）BD=CE，证明见解析；（2）不变，4；（3）存在，60°.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关的判定定理和性质定理．96．如图1，已知ABCD∥，30B，120D；（1）若60E，则F__________；（2）请探索E与F之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP平分BEF，FG平分EFD，反向延长FG交EP于点P，求P的度数．【答案】（1）90；（2）30EFDBEF；详见解析；（3）15P【解析】【分析】（1）如图1，分别过点,EF作EMAB∥，FNAB∥，根据平行线的性质得到30BBEM，MEFEFN，180DDFN，代入数据即可得到结论．（2）根据第一问即可解题．（3）如图2，过点F作FHEP，设2BEFx.则230EFDx，根据角平分线的性质可得12PEFBEFx，1152EFGEFDx，根据平行线的性质可得PEFEFHx，PHFG，于是得到结论．【详解】（1）如图1，分别过点,EF作EMAB∥，FNAB∥，∴EMABFN，∴30BBEM，MEFEFN，又∵ABCD∥，ABFN，∴CDFN∥，∴180DDFN，又∵120D，∴60DFN，∴30BEFMEF，60EFDEFN，∴60EFDMEF∴3090EFDBEF故答案为：90；（2）如图1，分别过点,EF作EMAB∥，FNAB∥，∴EMABFN，∴30BBEM，MEFEFN，又∵ABCD∥，ABFN，∴CDFN∥，∴180DDFN，又∵120D，∴60DFN，∴30BEFMEF，60EFDEFN，∴60EFDMEF∴30EFDBEF（3）如图2，过点F作FHEP，由（2）知，30EFDBEF.设2BEFx，则230EFDx，∵EP平分BEF，GF平分EFD，∴12PEFBEFx，1152EFGEFDx，∵FHEP，∴PEFEFHx，PHFG，∵15HFGEFGEFH，∴15P故答案为：（1）90；（2）30EFDBEF；详见解析；（3）15P【点睛】本题为平行线相关综合提高题，需要添加辅助线，熟练掌握平行线性质是解题关键．97．最短路径问题：例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．应用：已知：