正余弦定理判断三角形形状

1．判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边与边的关系，或角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一．三角形形状的判断依据：(1)等腰三角形：a＝b或A＝B；(2)直角三角形：b2＋c2＝a2或A＝90°；(3)钝角三角形：a2b2＋c2，A90°；(4)锐角三角形：若a为最大边，且满足a2b2＋c2或A为最大角，且A90°.在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c,已知acosB=bcosA，试判断三角形的形状例1在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，若ab＝cosBcosA，试确定△ABC的形状．例2【解析】由ab＝cosBcosA，得acosA＝bcosB，所以a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．【点评】依据已知条件中的边角关系判断三角形形状时，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．练习在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c,已知，试判断三角形的形状2cos22Abcc