指数的扩充及其运算性质

新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数§2指数扩充及其运算性质新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数1．分数指数幂给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，就把b叫作________________，记作_______________.它就是分数指数幂．a的mn次幂b＝mna新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数(1)正分数指数幂也可写成根式的形式，即mna＝__________(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿：mna＝__________(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．(3)0的正分数指数幂等于________,0的负分数指数幂_______________．nam1mna没有意义0新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数由于有理数分为整数和分数，则引入分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充．想一想1.mna是mn个a相乘吗？提示：分数指数幂mna不是mn个a相乘，实质上是关于b的方程bn＝am的解．新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数2．(na)n与nan(n∈N＋，n＞1)相同吗？提示：不同(na)n＝a.式子nan(n∈N＋，且n＞1)对任意的a∈R都有意义，当n是奇数时nan＝a；当n是偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0－a，a＜0.新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数做一做1.(1)323等于()A.2B.33C.327D.27解析：选D.323＝33＝27.新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数(2)5a－2等于()A．25aB．52aC．25aD．－52a答案：A新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数2．指数运算性质正整数指数幂的运算性质：(1)aman＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)(ab)n＝anbn；(4)当a≠0时，有aman＝am－n，当m＞n时1，当m＝n时a－n－m，当m＜n时；(5)(ab)n＝anbn(b≠0)．新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数其中m，n∈N＋.当a＞0，b＞0时，对任意实数m，n都满足上述性质，上述五条运算性质也可以归纳为三条：(1)aman＝__________；(2)(am)n＝_______；(3)(ab)n＝__________.am＋namnanbn新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数3．无理数指数幂对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它．一般来说，无理数指数幂ap(a＞0，p是一个无理数)是一个确定的实数．新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数3.化简：①34×35＝________.②5553＝________.由于实数分为有理数和无理数，则规定了无理数指数幂后，我们就把指数扩大为全体实数了．做一做新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数解析：①34×35＝(4×5)3＝203；②(35)55＝3555＝3－1＝13.答案：20313新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数题型一分数指数幂与根式的转化计算下列各式的值：题型探究例1(1)481×239)；(2)23×31.5×612；(3)25×5535×1057.新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数【解】(1)原式＝(34×34132)14＝(3243)14＝314134＝376.(2)原式＝2×312×(32)13×(3×22)16＝21－13＋13×312＋13＋16＝2×3＝6.(3)原式＝(52×535)÷(512×5710)＝52＋35－12－710＝575.新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数【思维总结】解决本题的关键是理解分数指数幂的意义，根式是分数指数幂的另一种形式，将根式化为分数指数幂的形式是计算的前提．新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数题型二指数幂的综合运算计算下列各式．例2(1)(a12·3b2)－3÷b－4a－2；(2)14－2＋166－13＋3＋23－2＋4·－623.新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数【解】(1)原式＝(a12·b23)－3÷[b－4(a－2)12]12＝a－32·b－2÷(b－2·a－12)＝a－32＋12·b－2＋2＝a－1·b0＝1a.(2)原式＝(2－2)－2＋(6－32)－13＋(312＋212)2－4×18×632＝24＋612＋5＋2×612－3×612＝21.新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数【名师点睛】进行指数运算时，要化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数题型三有关指数幂的条件求值例3(本题满分6分)已知a12＋a－12＝3，求下列各式的值，(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数【思路点拨】从已知条件中解出a的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件a12＋a－12＝3的联系，进而整体代入求值．【解】(1)将a12＋a－12＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9.即a＋a－1＝7.3分(2)将上式平方，有a2＋a－2＋2＝49.∴a2＋a－2＝47.6分新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数【思维总结】巧妙地换元、整体代换、完全平方公式、立方和公式等是解这类题常用的方法和知识．新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数方法技巧1．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算；负指数幂化为正指数幂的倒数；底数是负数，先确定符号；底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数2．在分数指数幂运算中，既含有分数指数幂，又含有根式，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，如果根式中根指数不同，也应化为分数指数幂的形式．新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数失误防范1．注意：式子(na)n(n∈N＋，且n＞1)中被开方数a的取值范围由根指数n来确定．当n是奇数时，a∈R；当n为偶数时，a∈[0，＋∞)．2．对于分数指数幂的运算性质要注意其成立的条件．新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数若改变公式成立的条件，则命题有可能变为假命题，如a＝－3，b＝－4，n＝14时，anbn＝(ab)n＝[(－3)×(－4)]14＝1214，而(－3)14、(－4)14都无意义，所以当a＜0，b＜0时，有理数指数幂的运算性质(3)不再成立.新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数分数指数幂的运算【思路探究】(1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数．(2)将根式化为分数指数幂．新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数【自主解答】新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数忽略成立的条件致误【错解】【错因分析】新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数【防范措施】1.化简指数式时，应该先讨论其中字母的取值范围，通常根据指数幂的指数来讨论，也可以化为根式，利用偶次方根的被开方数为非负数，奇次方根的被开方数是任意实数来求出其中字母的取值范围．2．(am)n＝anm只有在a0时一定成立，若a0，且m为偶数，则需转化为(am)n＝[(－a)m]n＝(－a)mn.新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章指数函数和对数函数【正解】