微分方程的算子算法

1类比法常系数线性微分方程的算子解法3常系数线性微分方程的算子解法1．n阶常系数线性微分方程齐次方程1110Lnnnnndydyppydxdx(2)非齐次方程111()Lnnnnndydyppyfxdxdx(1)微分算子2212,,,nnnndddDDDDDdxdxdxL111()LnnnnPDDpDpDp方程的算子表示()()PDyfx()0PDy4常系数线性微分方程的算子解法线性算子1122()()()()PDyyPDyPDy2．解的结构定理1方程（1）的通解为：，其中是（2）的通解，是（1）的特解。()*()yyxyx()yx*()yx定理2*()()()1,2,,,LjjyxPDyfxjm设是的特解,则*()*()()()mmjjjjyxyxPDyfx是的特解。定理3**1212()()()()()yxiyxPDyfxifx是的特解的充分必要*()()()1,2.jjyxPDyfxj条件是：是的特解,5常系数线性微分方程的算子解法3．类比对象的确定特殊情况(),(),*()yfxyfxdxCyfxdx其通解类似于原函数的概念，定义算子：1()PD1()()()()fxPDfxPD表示这样函数：用作用它的结果是，即1()()()()()()()FxPDFxfxfxFxPD若函数使得，则11()(),()()()nnfxfxdxfxfxdxDDL1()()()()DPDfxdxfxPD将与类比，将与类比6常系数线性微分方程的算子解法4．思维方法求导公式积分公式计算原函数导数的性质及求导法则原函数的性质及积分法运算公式的性质及运算法则1()PD的性质及运算法则()PD运算公式计算特解7常系数线性微分方程的算子解法5．n阶导数的基本性质、运算法则及求导公式1212(1)[()()]()()nnnDfxfxDfxDfx(2)()[()]nnkkDfxDDfx0(3)[()()][()][()]nnmmnmnmDuxvxCDuxDvx(4)()[()]uaxbnnnxuuaxbDfaxbaDfu8常系数线性微分方程的算子解法6．算子的基本性质及运算法则()PD1212(1)()(()())()()()()PDfxfxPDfxPDfx1212(2)[()()]()()()()()PDpDfxPDfxpDfx121221(3)()()(),()()()[()()]()[()()]PDPDPDPDfxPDPDfxPDPDfx则000(4)()[()()][(())(())]nnkkmmkmnknkkkkmpDuxvxpCDuxDvx(5)()()[()()]xuuaxbPDfaxbPaDfu9常系数线性微分方程的算子解法7．n阶导数的求导公式(1)nxxDee2(2)sinsin(),sin(1)sin2nmmnDxxDxx2(3)coscos(),cos(1)cos2nmmnDxxDxx(4)(1)(1)LnnDxnx1(1)(1)!(5)ln(1)(1)nnnnDxx10常系数线性微分方程的算子解法8．算子的运算公式()PD(1)()()xxPDeeP22(2)()sinsin()PDxxP22(3)()coscos()PDxxP(4)()[()]()()xxPDevxePDvx11常系数线性微分方程的算子解法9．算子的基本性质及运算法则1()PD1212111(1)(()())()()()()()fxfxfxfxPDPDPD121221(2)()()(),11111()[()][()]()()()()()PDPDPDfxfxfxPDPDPDPDPD则12常系数线性微分方程的算子解法10．算子的运算公式1()PD1(1)(()0)()()xxeePPDP2221sin(2)sin(()0)()()xxPPDP2221cos(3)cos(()0)()()xxPPDP13常系数线性微分方程的算子解法10．算子的运算公式1()PD11(4)[()]()()()xxevxevxPDPD01(),(0)0,1()()(),()()()11LkkknkkkkfxbbxbxPpfxQDfxQDPDPDDk(5)设则其中是按升幂排列后去除在第步所得的商。14常系数线性微分方程的算子解法11．特解的算子解法及例题类型1()()kfxfx1()(0)0,*()()(),()kkkaPyfxQDfxPD当时()(0)0,()(),(0)0,1111*()[()][()()]()()rkkkkrrbPPDDPDPyfxfxQDfxPDDDPD当时设其中则解法15常系数线性微分方程的算子解法11．特解的算子解法及例题22()11DDyx例求的特解。22222232111*1[(1)]11[(1)(1)]1(23)133yxxDDDDDDxDxxDxxx解（）=16常系数线性微分方程的算子解法11．特解的算子解法及例题类型2()()xkfxefx2(21)xDDyxe2求例的特解。11*[()]()()()xxkkyefxefxPDPD解法23221*(21)11(12113!xxxxyxeDDxexexeDDD（））（）解17常系数线性微分方程的算子解法11．特解的算子解法及例题类型3()()cos()()sinxxkkfxfxexfxfxex或解法()()()ixkPDyefx考虑方程特解的实、虚部2(25)sin2xDDyxex求例3的特解。2(12)(25)ixDDyex解考虑的特解(12)21*(25)ixyexDD18(12)22(12)221(12)2(12)5()816[(sin2cos2)(cos2sin2)]816816ixixxexDiDixxeixxxxexxixx21*(cos2sin2)816xxxyexx常系数线性微分方程的算子解法11．特解的算子解法及例题