专题08-分类讨论思想在二次函数最值中的应用(解析版)

【高考地位】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用.分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用.二次函数在闭区间上最值问题在高考各省市的考题中经常出现，由于二次函数分类讨论参变量取不同的值时，可引起函数性质的变化，因此研究二次函数在区间上的最值问题常见处理方法是有必要的.【方法点评】类型求二次函数最值问题使用情景：二次函数在区间上的最值问题解题模板：第一步通过观察函数的特征，分析二次函数的表达式中是否具有参数，且参数的位置在什么位置；第二步通过讨论二次函数的对称轴和已知区间之间的关系进行分类讨论；第三步根据二次函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出[来源:学科网]其最值；第四步得出结论.例1已知函数()yfx是二次函数，且满足(0)3f，(1)(3)0ff（1）求()yfx的解析式；（2）若[,2]xtt，试将()yfx的最大值表示成关于t的函数()gt．【答案】（1）2()23fxxx；（2）2223(1)()4(11)23(1)tttgttttt．【解析】试题解析：（1）由题可设()(1)(3)fxaxx，又(0)3f，得a＝－1，得2()23fxxx（2）由（1）知，()yfx的对称轴为01x，若1t，则()yfx在[,2]tt上是减函数，2max()23yfttt…8分若21t，即1t，则()yfx在[,2]tt上是增函数，2max(2)23yfttt若12tt，即11t，则max(1)4yf故2223(1)()4(11)23(1)tttgttttt。学科网[来源:Z_xx_k.Com]考点：二次函数的解析式，二次函数的最值．【名师点睛】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．例2已知函数2(=(0,,)fxaxbxcabRcR），若函数()fx的最小值是(1)0,(0)1ff且对称轴是1x，()(0)()()(0)fxxgxfxx．（1）求(2)(2)gg的值；（2）在（1）条件下求()fx在区间,2tt()tR的最小值．【答案】（1）8；（2）21t．【解析】试题解析：（1）(1)0(0)112ffbxa，012abccba112acb2()(1)fxx22(1)(0)(1)(0)xxgxxx(2)(2)8gg（2）当21t时，即3t时2()(1)fxx在区间,2tt上单调递减2min()(2)(3)fxftt当12tt时，即31t时[来源:学*科*网Z*X*X*K]2()(1)fxx在区间,1t上单调递减，2()(1)fxx在区间1,2t上单调递增min()(1)0fxf当1t时2()(1)fxx在区间,2tt上单调递增，2min()()(1)fxftt。学科网考点：1、待定系数法求解二次函数的解析式；2、二次函数求最值；3、利用分类讨论求解函数的最值．【变式演练1】已知函数2()21fxxax，（1）求()fx在区间1,2的最小值()ga；（2）求()fx在区间1,2的值域【答案】（1）222,11,1252,2aagaaaaa（2）当1a时值域为[2-2a，5+2a]，当12a时值域为21,52aa，当2a时值域为[5+2a，2-2a].【解析】试题分析：（1）先配方，再分类讨论，即可求f（x）在区间[-1，2]的最小值g（a）；（2）分类讨论，求出f（x）在区间[-1，2]的最大值，最小值，即可求f（x）在区间[-1，2]的值域试题解析：（1）222()211fxxaxxaa．∴a＜-1时，g（a）=2-2a；-1≤a≤2时，g（a）=21a；a＞2时，g（a）=5+2a，222,11,1252,2aagaaaaa考点：二次函数的性质.【点评】本题在求二次函数的最值时，用到了分类讨论思想，求解中对系数a的符号进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论.【变式演练2】设函数2(),,fxxaxbabR．（1）当2a时，记函数|()|fx在[0，4]上的最大值为()gb，求()gb的最小值；（2）存在实数a，使得当[0,]xb时，2()6fx恒成立，求b的最大值及此时a的值．【答案】（1）92；（2）2a＝【解析】试题分析：（1）当2a，2()2fxxxb,对称轴为01x．所以()fx的最大值|1|,|1||8|()max{|(1)(4)|}|8|,|1||8|bbbgbffbbb|,|，即可得到()gb的最小值．（2）显然0b．22()24aafxxb．然后再对02a，2ab和02ab进行分类讨论，借助函数的单调性即可求出结果．试题解析：（1）当2a，2()2fxxxb,对称轴为01x．所以()fx的最大值|1|,|1||8|()max{|(1)(4)|}|8|,|1||8|bbbgbffbbb|,|．所以()gb的最小值为92．③当02ab时，只需满足22206,224624fbaafbaafbbb①，②，③由①，②得26b．由②，③得2-+262ab，又02ab，∴022ab，即022ab，再结合②得222()24abb，④∴23b．当3b＝时，由④得2a＝，此时满足①，②，③及02ab．综上所述，b的最大值为3，此时2a＝．考点：1．二次函数的性质；2．函数的单调性；3．分类讨论思想．【变式演练3】记函数2()fxaxbxc（a，b，c均为常数，且0a）．（1）若1a，cfbf（cb），求2f的值；（2）若1b，ac时，函数xfy在区间[1,2]上的最大值为()ga，求()ga．【答案】（1）4（2）21,14121,41041,23aaaaaaaag且【解析】试题分析：（1）将已知条件cfbf代入可得到关于,bc的方程，从而求得函数解析式，得到函数值；（2）结合已知条件将函数式化简211()24fxaxaaa，通过对参数a范围的讨论确定函数在区间[1,2]上的单调性，从而求得最大值。学科网（2）当1b，ac时，2211()24fxaxxaaxaaa，[1,2]x，①当0a时，121ax时，xf在区间2,1上单调递增，所以232maxafxf；②当0a时，Ⅰ．若221a，即041a时，xf在区间2,1上单调递增，所以232maxafxf；Ⅱ．若121a，即21a时，xf在区间2,1上单调递减，所以11maxfxf；考点：1．求函数解析式与函数求值；2．二次函数单调性与最值；3．分情况讨论.【变式演练4】已知二次函数2()yfxxbxc的图象过点)13,1(，且函数y1()2fx是偶函数．（1）求()fx的解析式；（2）已知2t,xxxfxg]13[2，求函数xg在]2,[t上的最大值和最小值；（3）函数()yfx的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2()11fxxx；（2）222,121,1212,12tttHttttt；（3）函数yfx的图象上存在符合要求的点，它的坐标为10,121．【解析】试题分析：（1）函数y1()2fx是偶函数,可知其对称轴为y轴．由图像平移可知函数fx的对称轴为12x,从而可得b的值．根据函数fx图像过点)13,1(可得a的值．（2）由（Ⅰ）可得gx的解析式．结合函数图像可得函数最值．（3）假设存在．设为2,Pmn，其中m为正整数，n为自然数，则2211mmn．变形可得2111mmn,根据1mm为大于0的偶数,可得n的范围,可逐个代入验证．学科网试题解析：解：（Ⅰ）∵2()fxxbxc的对称轴方程为12x，∴1b．又2()fxxbxc的图象过点)13,1(，∴113bc，∴11c．∴()fx的解析式为2()11fxxx（Ⅲ）如果函数yfx的图象上存在符合要求的点，设为2,Pmn，其中m为正整数，n为自然数，则2211mmn，（法一）从而2242143nm，即22122143nmnm．注意到43是质数，且221221nmnm，又2210nm，所以只有221432211nmnm，解得：1011mn．因此，函数yfx的图象上存在符合要求的点，它的坐标为10,121（法二）从而21110mmn的偶数，∴4n的奇数∴取5,7,9,11n验证得，当1110nm时符合因此，函数yfx的图象上存在符合要求的点，它的坐标为10,121．考点：1函数的奇偶性,最值；2推理论证能力．【高考再现】1.【2016高考浙江文数】已知函数f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A考点：充分必要条件.【方法点睛】解题时一定要注意错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的充分条件，错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．2.【2015高考湖北，文17】a为实数，函数错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。上的最大值记为错误!未找到引用源。.当错误!未找到引用源。_________时，错误!未找到引用源。的值最小.【答案】错误!未找到引用源。.【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题.学科网【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出错误!未找到引用源。的表达式和分段函数在区间上的最值求法.3.【2015高考浙江，理18】已知函数2()(,)fxxaxbabR，记(,)Mab是|()|fx在区间[1,1]上的最大值.（1）证明：当||2a时，(,)2Mab；（2）当a，b满足(,)2Ma