2009年湖北省高考数学试卷(理科)

第1页（共19页）2009年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知{|(1Paa，0)(0m，1)，}mR，{|(1Qbb，1)(1n，1)，}nR是两个向量集合，则(PQ)A．{(1,1)}B．{(1,1)}C．{(1,0)}D．{(0,1)}2．（5分）设a为非零实数，函数11(,)1axyxRxaxa的反函数是()A．11(,)1axyxRxaxaB．11(,)1axyxRxaxaC．1(,1)(1)xyxRxaxD．1(,1)(1)xyxRxax3．（5分）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数()()mninmi为实数的概率为()A．13B．14C．16D．1124．（5分）函数cos(2)26yx的图象F按向量a平移到F，F的函数解析式为()yfx，当()yfx为奇函数时，向量a可以等于()A．(6，2)B．(6，2)C．(6，2)D．(6，2)5．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为()A．18B．24C．30D．366．（5分）设222120122122()2nnnnnxaaxaxaxax，则22024213521lim[()()](nnnaaaaaaaa)A．1B．0C．1D．127．（5分）已知双曲线22122xy的准线过椭圆22214xyb的焦点，则直线2ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是()A．1[2K，1]2B．[K，11][22，]C．2[2K，2]2D．[K，22][22，]8．（5分）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型第2页（共19页）货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元9．（5分）设球的半径为时间t的函数()Rt．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径．A．成正比，比例系数为CB．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为CD．成反比，比例系数为2C10．（5分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289B．1024C．1225D．1378二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知关于x的不等式101axx的解集1|12xxx或，则实数a．12．（5分）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为，数据落在(2,10)内的概率约为．第3页（共19页）13．（5分）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km．已知地球半径约为6400km，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为km．（结果中保留反余弦的符号）．14．（5分）已知函数()()cossin4fxfxx，则()4f的值为．15．（5分）已知数列{}na满足：1(amm为正整数），1,231,nnnnnaaaaa当为偶数时当为奇数时若61a，则m所有可能的取值为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（10分）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量xy，求的分布列和数学期望．17．（12分）已知向量(cos,sin)a，(cos,sin)b，(1,0)c．（1）求向量bc的长度的最大值；（2）设4，且()abc，求cos的值．18．（12分）如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，2SDa，2ADa，第4页（共19页）点E是SD上的点，且(02)DEa„（Ⅰ）求证：对任意的(0,2)，都有ACBE（Ⅱ）设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若tantan1，求的值．19．（13分）已知数列{}na的前n项和11()2(2nnnSan为正整数）．（Ⅰ）令2nnnba，求证数列{}nb是等差数列，并求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）令1nnnanð，12nnTccð试比较nT与521nn的大小，并予以证明．20．（14分）过抛物线22(0)ypxp的对称轴上一点(Aa，0)(0)a的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线:lxa作垂线，垂足分别为1M、1N．（Ⅰ）当2pa时，求证：11AMAN；（Ⅱ）记1AMM、△11AMN、1ANN的面积分别为1S、2S、3S，是否存在，使得对任意的0a，都有2213SSS成立？若存在，求出的值，否则说明理由．21．（14分）在R上定义运算：1()()4(3pqpcqbbcb、cR是常数），已知21()2fxxc，2()2fxxb，12()()()fxfxfx．①如果函数()fx在1x处有极值43，试确定b、c的值；②求曲线()yfx上斜率为c的切线与该曲线的公共点；③记()|()|(11)gxfxx剟的最大值为M，若Mk…对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．（参考公式：323234()(2))xbxbxbxb第5页（共19页）2009年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知{|(1Paa，0)(0m，1)，}mR，{|(1Qbb，1)(1n，1)，}nR是两个向量集合，则(PQ)A．{(1,1)}B．{(1,1)}C．{(1,0)}D．{(0,1)}【解答】解：由已知可求得{(1,)}Pm，{(1,1)}Qnn，再由交集的含义，有111nmn01nm，所以选A．2．（5分）设a为非零实数，函数11(,)1axyxRxaxa的反函数是()A．11(,)1axyxRxaxaB．11(,)1axyxRxaxaC．1(,1)(1)xyxRxaxD．1(,1)(1)xyxRxax【解答】解：由函数11(,)1axyxRxaxa得：1(1)yxay，函数11(,)1axyxRxaxa的反函数是：1(,1)(1)xyxRxax．故选：D．3．（5分）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数()()mninmi为实数的概率为()A．13B．14C．16D．112【解答】解：因为22()()2()mninmimnnmi为实数所以22nm故mn则可以取1、2、3、4、5、6，共6种可能，所以1166616PCC，故选：C．第6页（共19页）4．（5分）函数cos(2)26yx的图象F按向量a平移到F，F的函数解析式为()yfx，当()yfx为奇函数时，向量a可以等于()A．(6，2)B．(6，2)C．(6，2)D．(6，2)【解答】解：：cos(2)26yx将函数cos(2)26yx向左平移6个单位，再向上平移2个单位可得到cos(2)sin22yxx(6a，2)故选：B．5．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为()A．18B．24C．30D．36【解答】解：每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是24C，元素还有一个排列，有33A种，而甲乙被分在同一个班的有33A种，满足条件的种数是23343330CAA故选：C．6．（5分）设222120122122()2nnnnnxaaxaxaxax，则22024213521lim[()()](nnnaaaaaaaa)A．1B．0C．1D．12【解答】解：令1x和1x分别代入二项式222120122122()2nnnnnxaaxaxaxax中得201232122(1)2nnnaaaaaa，20123452122(1)2nnnaaaaaaaa由平方差公式得第7页（共19页）2222202421352101232120123452122211()()()()(1)(1)(1)()2224nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa所以220242135211lim[()()]lim()04nnnnnaaaaaaaa故选：B．7．（5分）已知双曲线22122xy的准线过椭圆22214xyb的焦点，则直线2ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是()A．1[2K，1]2B．[K，11][22，]C．2[2K，2]2D．[K，22][22，]【解答】解：根据题意，双曲线22122xy中，2224c，则2c，易得准线方程是21axc所以222241cabb即23b所以方程是22143xy联立2ykx可得22(34)1640kxkx由△0„解得1[2k，1]2故选：A．8．（5分）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元【解答】解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件20101000408xyxy…剟剟求线性目标函数400300zxy的最小值．解得当42xy时，2200minz．故选：B．第8页（共19页）9．（5分）设球的半径为时间t的函数()Rt．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径．A．成正比，比例系数为CB．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为CD．成反比，比例系数为2C【解答】解：由题意可知球的体积为34()()3VtRt，则2()4()()cVtRtRt，由此可得4()()()cRtRtRt，而球的表面积为2()4()StRt，所以248VStRtRtRt表，即22824ccVRtRtRtRtRtRtRtRt表故选：D．10．（5分）古希腊人常用小石子在沙滩