函数的基本性质

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随x的增大，y的值有什么变化？画出下列函数的图象，观察其变化规律：1、从左至右图象上升还是下降____?2、在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着______．f(x)=x(-∞,+∞)增大上升1、在区间____上，f(x)的值随着x的增大而______．2、在区间_____上，f(x)的值随着x的增大而_____．f(x)=x2(-∞,0](0,+∞)增大减小画出下列函数的图象，观察其变化规律：x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916….0)()()()(,)(,02212122221121增函数上是，在区间们就说函数，这时我时，有，当，得到上任取两个，在区间xxfxfxfxxxxfxxfxx一、函数单调性定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．2．减函数1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；注意：2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)分别是增函数和减函数.如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.二．函数的单调性定义yoxoyxyoxyoxyox在增函数在减函数ab2--，,2ab在增函数在减函数ab2--，,2ab在(-∞,+∞)是减函数在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数在(-∞,+∞)是增函数在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数yox例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)是减函数，在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。例2、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。)(为正常数kVkp证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1V2，则21121212()()VVkkpVpVkVVVV由V1，V2∈(0，+∞)且V1V2，得V1V20,V2-V10又k0,于是0)()(21VpVp)()(12VpVp即所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.),0(,VVkp取值定号变形作差结论三．判断函数单调性的方法步骤1任取x1，x2∈D，且x1x2；2作差f(x1)－f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：思考？思考：画出反比例函数的图象．1这个函数的定义域是什么？2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．证明：函数f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=21122111xxxxxx由于x1,x2得x1x20,又由x1x2得x2-x10所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),0因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。取值定号变形作差判断四、归纳小结函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论1．书面作业：课本P45习题1．3（A组）第3、4题．五、作业1、法二：作商的方法由x1x2时，大于或小于1来比较f(x1)与f(x2)的大小，最后得出结论。21xfxfyxoxxf1讨论2、由图象知：函数在上不具有单调性。,yxoy=kx+b(k0)yxoy=kx+b(k0)讨论一般性问题：1、当k变化时函数的单调性有何变化？2、当b变化时函数的单调性有何变化？例3．借助计算机作出函数y=－x2+2|x|+3的图象并指出它的的单调区间．8642-2-4-6-8-10-5510fx=-x2+2x+3