中考数学——“旋转”专题

《“旋转”那些事》一、旋转的定义BAC在平面内，将一个图形绕按转动，这样的图形运动称为旋转．一个定点某个方向一定的角度三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度2.向哪个方向旋转？1.绕哪个点旋转？3.转动了多少度？如图∠ADC=∠B=90°，DE⊥AB，E为AB上的一点,且AD=CD，DE=5.请求出四边形ABCD的面积.FABCDE二、小试牛刀反思：解本题的关键是图中已有的两条相等的线段DA=DC，这就为“旋转”奠定了基础。将AD绕着点D按逆时针方向旋转90°至DC位置，则由点D出发的第三条线段DE也作相同的旋转至DF位置，得到如图所示辅助线。可以证出B、C、F三点共线（即∠DCF+∠DCB＝∠A+∠DCB=180°），进而解决问题。解题后反思：过点D作DF⊥BC于点F，可由条件推出△ADE≌△CDF，这样也达到了与上述旋转同样的目的，这也是学生容易想到的辅助线。前面的“旋转法”，必须证明B、C、F三点共线；而后者必须证明△ADE≌△CDF，两者各有裨益。三、“旋转一拖二”（全等）如左图，等腰△ABC绕着点A按逆时针方向旋转α度至△AB’C’位置，易知△ABC≌△AB’C’（即旋转后的图形与旋转前的图形全等）。C'B'BCA如左图，若连接BB’、CC’，易证明△ABB’≌△ACC’（SAS）。这就是传说中的“旋转一拖二”，即等腰三角形旋转之后会有两个全等三角形，尤其是第二个全等往往是解题的关键。另外，结合“8字形”，易证∠BDC=∠BAC。上述模型有个形象的名字，可以称为“手拉手模型”。四、“旋转一拖二”的特例（1）如右图，△ABC和△AB’C’都是等边三角形（AB绕A逆时针旋转旋转60°至AC位置、AB’绕A逆时针旋转旋转60°至AC’位置），易知△ABB’≌△ACC’(SAS)。C'CC'CC'CC'CABB'ABB'B'BAB'BA这个模型可以形象地称为“共顶点的双等边三角形模型”。四、“旋转一拖二”的特例（2）如右图，△ABC和△AB’C’都是等腰直角三角形（AB绕A逆时针旋转旋转90°至AC位置、AB’绕A逆时针旋转旋转60°至AC’位置），易知△ABB’≌△ACC’(SAS)。CC'CC'CC'CC'BAB'ABB'BB'ABB'A这个模型可以形象地称为“共顶点的双等腰直角三角形模型”。五、实战分析传统意义上，此类问题可以用“截长补短法”解决。如图，在PA上截取PQ=PB，易证明∠BPA=∠CPA=60°,这样△PBQ为等边三角形，由“共顶点双等边三角形模型”易证明△ABQ≌△CBP(SAS)，故PC=QA，所以PA=PQ+QA=PB+PC，得证。这是传统的“截长法”。五、实战分析传统意义上，此类问题还可以用“补短法”解决。如图，延长CP至点Q，使PQ=PB，易证明∠BPQ=60°,这样△PBQ为等边三角形，由“共顶点双等边三角形模型”易证明△ABP≌△CBQ(SAS)，故PA=QC，所以PA=QC=QP+PC=PB+PC，得证。纵观上述两种传统解法，若是用旋转的眼光来看，就更有趣了。观察到原题中点B出发有三条线段BA、BC、BP，其中BA=BC，这就为旋转作了很好地铺垫。第一种“截长法”可以看成BP、BC同时绕点B按逆时针方向旋转60°所得，即将△PBC绕着点B逆时针旋转60°至△QBA。若是这样作辅助线，难在证明P、Q、A三点共线（提示：∠AQB=∠CPB＝120°,∠BQP＝60°可证）。第二种“补短法”可以看成BP、BA同时绕点B按顺时针方向旋转60°所得，即将△PBA绕着点B顺时针旋转60°至△QBC。若是这样作辅助线，难在证明Q、P、C三点共线（提示：∠BPQ＝60°,∠BPC＝120°可证）。总而言之，上述两种解法若用旋转的眼光来看，就是绕着旋转中心B按顺时针或逆时针方向旋转60度，这样BA与BC必然重合（这是由BA=BC产生的结果）。BP则旋转60至BQ位置，构造出“共顶点双等边三角形模型”，得出全等，解决问题。但旋转的缺点是麻烦在证明“三点共线”上，这也是对学生而言易忽略的地方。建议，在解题中，用“旋转”的眼光立即想到解题方案，但书写过程可以借用“截长补短”的方法进行，两种想法相得益彰。但后者必须证明全等。BP绕B旋转：逆时针顺时针所有转法由AB=AC，绕A转：由CA=CB，绕C转：由BA=BC，绕B转：逆时针逆时针逆时针顺时针顺时针顺时针规律总结：当某个顶点处有两条相等的线段时，这就为旋转提供了先天条件，只需将此顶点处出发的第三条线段绕着这个顶点作相应的旋转即可，可顺时针转，也可逆时针转，构造出“共顶点的双等腰三角形模型”，借助“旋转一拖二”，得到全等，解决问题。上述规律可简记为“等线段、共顶点；造旋转、一拖二”。六、变式训练逆时针顺时针OBDOBDCACAPQPQ简析：由BA=BC，可绕B转90度，可证得六、变式训练逆时针顺时针简析：由BA=BC，可绕B转120度，可证得七、常见模型EF=AE+CF（一）正方形中“半角（45度）模型”已知正方形ABCD中，∠EBF＝45°，则EF=AE+CF七、常见模型（二）四边形中更一般的“半角模型”EF=AE+CF七、常见模型（三）等腰直角三角形中“半角（45度）模型”DE2=BD2+CE2已知等腰直角△ABC中，∠DAE＝45°，则DE2=BD2+CE2.七、常见模型（四）对角互补模型（1）简称“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）.七、常见模型（四）对角互补模型（2）简称“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）.七、常见模型（四）对角互补模型（3）已知等边△ABC，且∠BPC＝120°，则PA=PB+PC.简称“等边三角形对120°模型”.PA=PB+PC七、常见模型（四）对角互补模型（4）简称“120°等腰三角形对60°模型”.七、常见模型（五）其他模型（1）简称“等边三角形对30°模型”.七、常见模型（五）其他模型（2）这个模型是前面等腰直角三角形中“半角（45度）模型”的一个变式，如果前面的模型成为“等腰直角三角形内嵌45度模型”，那这个模型可形象称为“等腰直角三角形外嵌45度模型”。其实两个模型结论一模一样。七、常见模型（五）其他模型（3）这个变式可简称为“等腰直角三角形内含于135度模型”。七、常见模型（五）其他模型（4）将上面的△D’CE单独抽离出来，如下图所示：七、常见模型（五）其他模型（5）下面还有一个“外嵌60度模型”。将左面的△D’CE单独抽离出来，如下图所示：八、相关习题八、相关习题八、相关习题八、相关习题八、相关习题由“等腰直角△ABC”可构造“共顶点的双等腰直角三角形模型”，如图所示，求出AD。上述辅助线，忽略次要因素，抽离出右边的基本模式，还有一个动听的名字，构造“隐形的翅膀”。数学就是这么美妙而神奇！将左面的△D’CE单独抽离出来，如右图所示：八、相关习题其中DE=10，DF=3，BF=3，EF=13，故CD=BE=14。再次构造“隐形的翅膀”，充分利用好120°构造特殊直角三角形，用勾股定理解决问题。九、两道2016年中考压轴题第三问：222+2AM=BMDM九、两道2016年中考压轴题简解如下：简单应用：（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，弧AD＝弧BD，若AB＝13，BC＝12，求CD的长.（简解如下图，即为异侧型“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型）第四问难在构图，简解如下：第一种情况：第四问难在构图，简解如下：第二种情况：十、十全十美之“圆中折弦模型”十全十美，第十点附赠一个圆中有趣的模型——“折弦模型”当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕其邻边的公共端点旋转到另一位置，将分散的条件相对集中起来，从而解决问题。因为正方形、等腰（直角）三角形、等边三角形具备边长相等这一特征，所以在这些图形中，常用旋转变换。即当某顶点处存在相等的两条线段时，可以将此顶点出发的第三条线段进行相应的旋转，可顺转也可逆转，构造出“手拉手模型”，从而解决问题。更多查看微信公众号:数学第六感最后，归纳总结如下：