数列知识点总结及例题讲解

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2．1数列的概念与简单表示法2．2等差数列2．3等差数列的前n项和2．4等比数列2．5等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。2、理解递推公式与通项公式的关系。3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。一、数列的概念与简单表示法⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….⒊数列的一般形式：,,,,,321naaaa，或简记为na，其中na是数列的第n项⒋数列的通项公式：如果数列na的第n项na与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11nna，也可以是|21cos|nan.⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()nafn，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、f(2)、f(3)、f(4)…，f(n)，…6．数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列7．数列的表示方法（1）通项公式法如果数列na的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；（2）图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．（3）递推公式法如果已知数列na的第1项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为：)83(,5,32121naaaaannn4、列表法．简记为．典型例题：例1：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33,……；(2)32,154,356,638,9910,……；(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,……；(5)2,－6,12,－20,30,－42,…….解：(1)na＝2n＋1；(2)na＝)12)(12(2nnn；(3)na＝2)1(1n；(4)将数列变形为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,……,∴na＝n＋2)1(1n；(5)将数列变形为1×2,－2×3,3×4,－4×5,5×6,……，∴na＝(－1)1nn(n＋1)例2：设数列na满足11111(1).nnaana写出这个数列的前五项。分析：题中已给出na的第1项即11a，递推公式：111nnaa解：据题意可知：3211,211,123121aaaaa，58,3511534aaa例3：已知21a，nnaa21写出前5项，并猜想na．解：法一：21a22222a323222a，观察可得nna2法二：由nnaa21∴12nnaa即21nnaa∴112322112nnnnnnnaaaaaaaa∴nnnaa2211二、等差数列1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{na},若na－1na=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d为公差。2．等差数列的通项公式：dnaan)1(1【或nadmnam)(】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得奎屯王新敞新疆若一等差数列na的首项是1a，公差是d，则据其定义可得：daa12即：daa12daa23即：dadaa2123daa34即：dadaa3134……由此归纳等差数列的通项公式可得：dnaan)1(1∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a和公差d，便可求得其通项na。由上述关系还可得：dmaam)1(1即：dmaam)1(1则：nadna)1(1=dmnadndmamm)()1()1(即等差数列的第二通项公式nadmnam)(∴d=nmaanm3．有几种方法可以计算公差d①d=na－1na②d=11naan③d=mnaamn4．结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，qpnmaaaa即m+n=p+qqpnmaaaa(m,n,p,q∈N)但通常①由qpnmaaaa推不出m+n=p+q，②nmnmaaa典型例题：例1：⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？解：⑴由35285,81dan=20，得49)3()120(820a⑵由4)5(9,51da得数列通项公式为：)1(45nan由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得)1(45401n成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。例2：已知数列{na}的通项公式qpnan，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定na是不是等差数列，只要看1nnaa（n≥2）是不是一个与n无关的常数。解：当n≥2时,（取数列na中的任意相邻两项1na与na（n≥2））])1([)(1qnpqpnaannpqppnqpn)(为常数∴{na}是等差数列，首项qpa1，公差为p。注：①若p=0，则{na}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…②若p≠0,则{na}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.③数列{na}为等差数列的充要条件是其通项na=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式。④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。例3：求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：1a=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：na=3+（n－1）×4,即na=4n－1（n≥1,n∈N*）∴4a=4×4－1=15,10a=4×10－1=39.评述：关键是求出通项公式.例4：求等差数列10，8，6，……的第20项.解：根据题意可知：1a=10,d=8－10=－2.∴该数列的通项公式为：na=10+（n－1）×（－2）,即：na=－2n+12,∴20a=－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.例5：100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得na等于这一数.解：根据题意可得：1a=2,d=9－2=7.∴此数列通项公式为：na=2+（n－1）×7=7n－5.令7n－5=100,解得：n=15,∴100是这个数列的第15项.例6：－20是不是等差数列0，－321，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：由题意可知：1a=0,d=－321∴此数列的通项公式为：na=－27n+27,令－27n+27=－20,解得n=747因为－27n+27=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.例7：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？解：由定义得A-a=b-A，即：2baA反之，若2baA，则A-a=b-A由此可可得：,,2babaA成等差数列例8：在等差数列{na}中，若1a+6a=9,4a=7,求3a,9a.分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……解：∵{an}是等差数列∴1a+6a=4a+3a=93a=9－4a=9－7=2∴d=4a－3a=7－2=5∴9a=4a+(9－4)d=7+5*5=32∴3a=2,9a=32三、等差数列的前n项和1．等差数列的前n项和公式1：2)(1nnaanS证明：nnnaaaaaS1321①1221aaaaaSnnnn②①+②：)()()()(223121nnnnnnaaaaaaaaS∵23121nnnaaaaaa∴)(21nnaanS由此得：2)(1nnaanS从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性奎屯王新敞新疆2．等差数列的前n项和公式2：2)1(1dnnnaSn用上述公式要求nS必须具备三个条件：naan,,1但dnaan)1(1代入公式1即得：2)1(1dnnnaSn此公式要求nS必须已知三个条件：dan,,1（有时比较有用）对等差数列的前n项和公式2：2)1(1dnnnaSn可化成式子：n)2da(n2dS12n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式3．由nS的定义可知，当n