2014年高考北京文科数学试题及答案(word解析版)

12014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2014年北京，文1，5分】若集合0,1,2,4A，1,2,3B，则AB（）（A）0,1,2,3,4（B）0,4（C）1,2（D）3【答案】C【解析】因为{1,2}AB，故选C．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．（2）【2014年北京，文2，5分】下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）（A）xye（B）yx（C）lnyx（D）yx【答案】B【解析】对于选项A，在R上是减函数；选项C的定义域为),0(；选项D，在)0,(上是减函数，故选B．【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．（3）【2014年北京，文3，5分】已知向量2,4a，1,1b，则2ab（）（A）5,7（B）5,9（C）3,7（D）3,9【答案】A【解析】因为2(4,8)a，所以2(4,8)(1,1)(5,7)ab，故选A．【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．（4）【2014年北京，文4，5分】执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）1（B）3（C）7（D）15【答案】C【解析】当0k时，1S；当1k时，123S；当2k时，347S；当3k时，输出7S，故选C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．（5）【2014年北京，文5，5分】设a、b是实数，则“ab”是“22ab”的（）（A）充分必要条件（B）必要而不必要条件（C）充分必要条件（D）既不充分不必要条件【答案】D【解析】若0,2ab，则22ab，故不充分；若2,0ab，则22ab，而ab，故不必要，故选D．【点评】判断充要条件的方法是：①若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．（6）【2014年北京，文6，5分】已知函数26logfxxx，在下列区间中，包含fx零点的区间是（）（A）0,1（B）1,2（C）2,4（D）4,【答案】C【解析】因为3(2)410,(4)202ff，所以由根的存在性定理可知，故选A．2O5430.80.70.5tp【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．（7）【2014年北京，文7，5分】已知圆22:341Cxy和两点,0Am，,00Bmm，若圆C上存在点P，使得90APB，则m的最大值为（）（A）7（B）6（C）5（D）4【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点0,0为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以15m，故选B．【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．（8）【2014年北京，文8，5分】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．咋特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系2patbtc（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）（A）3.50分钟（B）3.75分钟（C）4.00分钟（D）4.25分钟【答案】B【解析】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2patbtc的图象上，所以930.71640.82550.5abcabcabc，解得0.2,1.5,2abc．2215130.21.520.2()416pttt，当153.754t时，p取最大值，故选B．【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2014年北京，文9，5分】若ii12ixxR，则x．【答案】2【解析】由题意知：i112ix，所以由复数相等的定义知2x．【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题．（10）【2014年北京，文10，5分】设双曲线C的两个焦点为2,0，2,0，一个顶点式1,0，则C的方程为．【答案】221xy【解析】由题意知：2,1ca，所以2221bca，又因为双曲线的焦点在x轴上，所以C的方程为221xy．【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．（11）【2014年北京，文11，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为______．【答案】22【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三角形，棱锥的高为2，所以最长的棱长为222222．【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．（12）【2014年北京，文12，5分】在ABC中，1a，2b，1cos4C，则c；sinA．【答案】2，158【解析】由余弦定理得：22212cos52244cababC，故2c；因为4417cos2228A，俯视图侧（左）视图正（主）视图111223所以15sin8A．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．（13）【2014年北京，文13，5分】若x、y满足11010yxyxy，则3zxy的最小值为_______．【答案】1【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线3zxy可得，当直线经过两条直线1y与10xy的交点0,1时，z取得最小值1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．（14）【2014年北京，文14，5分】顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为工作日．【答案】42【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为6152142天．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）【2014年北京，文15，13分】已知na是等差数列，满足13a，412a，数列nb满足14b，420b，且nnba为等比数列．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）求数列nb的前n项和．解：（1）设等差数列na的公差为d，由题意得41123333aad，所以11312naandnn，，．设等比数列nnba的公比为q，由题意得344112012843baqba，解得2q．所以11112nnnnbabaq．（2）由（1）知13212nnbnn，，．数列3n的前n项和为312nn，数列12n的前n项和为1212112nn×．所以，数列nb的前n项和为31212nnn．【点评】本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查学生的基本的运算能力，属基础题．（16）【2014年北京，文16，13分】函数3sin26fxx的部分图象如图所示．（1）写出fx的最小正周期及图中0x、0y的值；（2）求fx在区间,212上的最大值和最小值．解：（1）fx的最小正周期为π，07π6x．03y．（2）因为ππ212x，，所以π5π2066x，．于是当π206x，Oyxy0x04即π12x时，fx取得最大值0；当ππ262x，即π3x时，fx取得最小值3．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．（17）【2014年北京，文17，14分】如图，在三棱柱111ABCABC中，侧棱垂直于底面，ABBC，12AAAC，E、F分别为11AC、BC的中点．（1）求证：平面ABE平面11BBCC；（2）求证：1//CF平面ABE；（3）求三棱锥EABC的体积．解：（1）在三棱柱111ABCABC中，1BB底面ABC．所以1BBAB．又因为ABBC．所以AB平面11BBCC．所以平面ABE平面11BBCC．（2）取AB中点G，连结EG，FG．因为E，F分别是11AC，BC的中点，所以FGAC∥，且12FGAC．因为11ACAC∥，且11ACAC，所以1FGEC∥，且1FGEC．所以四边形1FGEC为平行四边形．所以1CFEG∥．又因为EG平面ABE，1CF平面ABE，所以1CF∥平面ABE．（3）因为12AAAC，1BC，ABBC，所以223ABACBC．所以三棱锥EABC的体积111133123323ABCVSAA△．【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．（18）【2014年北京，文18，13分】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）．解：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100．从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（2）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a频率组距．课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252b频率组距．（3）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=频数样本容量．（19）【2014年北京，文19，14分】已知椭圆22:24Cxy．（1）求椭圆C的离心率；（2）设O为原点，若点A在直线2y，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值．解：（1）由题意，椭圆C的标准方程为22142xy．所以24a，22b，从而2222cab．组号分组频数102，6224，8346，17468，225810，2561012，1271214，68141