数字信号处理课后答案+第3章(高西全丁美玉第三版)

教材第3章习题与上机题解答1．计算以下序列的N点DFT，在变换区间0≤n≤N－1内，(1)x(n)=1(2)x(n)=δ(n)(3)x(n)=δ(n－n0)0n0N(4)x(n)=Rm(n)0mN(5)(6)NmnxmnN0,e)(π2jNmmnNnx0,π2cos)((7)x(n)=ejω0nRN(n)(8)x(n)=sin(ω0n)RN(n)(9)x(n)=cos(ω0n)RN(N)(10)x(n)=nRN(n)解：(1)kNNkNNNnknNNnknNWkXπ2jπ2j10π2j10e1e1e1)(1,,2,100NkkN（2）1100()δ()δ()10,1,,1NNknNnnXknWnkN（3）00100100()δ()δ()0,1,,1NknNnNknknNNnXknnWWnnWkNπ1j(1)0πsin1()e()π1sinkmmmkknNNNNknNmkWNXkWRkWkN(4)(5))(π2j)(π2j10)(π2j10π2je1e1ee)(kmNNkmNNnnkmNknNNnmnNWkXmkmkN00≤k≤N－1(6)knNNnNnmnNmnNknNWmnNkXπ2j-1010π2j-π2je)ee(21π2cos)(2π2π11j()j()0011ee22NNmknmknNNnn)(π2j)(π2j)(π2j)(π2je1e1e1e121kmNNkmNkmNNkmN,20,NkmkNmkmkNm0≤k≤N－1(7)00002πj()2π11j()j72πj()001e()ee1ekNNNNknnknNNknnNXkW02π10j()()202πsin()2e0,1,,12πsin()/2NkNNkNkNkN或1,,1,0e1e1)()2(jj700NkkXkNN（8）解法一直接计算：)(]ee[j21)()sin()(00jj08nRnRnnxNnnNknNNnnnNnknNWnxnXπ2j10jj1088e]ee[j21)()(00002π2π11j()j()001ee2jNNknknNNnn0000jj22πj(-k)j()N11e1e2j1e1eNNωkN解法二由DFT因为)()]sin(j)[cos()(e)(00j70nRnnnRnxNNn所以)](Im[)()sin()(708nxnRnnxN所以)()]](Im[j[DFT)](j[DFTo778kXnxnx即)]()([21j)(j)(*77o78kNXkXkXkX结果与解法一所得结果相同。此题验证了共轭对称性。(9)解法一直接计算:]e[21)()cos()(00jj09nnNenRnnx1099)()(NnknNWnxkX10π2jjje]e[e2100NnknNnn0000jj2π2πj()j()11e1e21e1eNNkkNN解法二由DFT共轭对称性可得同样结果。因为)](Re[)()cos()(709nxnRnnxN*97e771()()[()()]2XkXkXkXNkkNNkNN)π2(jj)π2(jj0000e1e1e1e121（10）解法一101,,1,0)(NnknNNknWkX上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为x(n)=nRN(n)，所以x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n)等式两边进行DFT，得到X(k)－X(k)WkN+N=Nδ(k)故1,,2,11]1)(δ[)(NkWkNkXkN当k=0时，可直接计算得出X(0)为101002)1()0(NnNnNNNnWnX这样，X(k)可写成如下形式：1,,2,1,102)1()(NkWNkNNkXkN解法二k=0时，102)1()(NnNNnkXk≠0时，kNNkNkNkNWN)1(32)1(320)()1()2(320)()1(432NWN11()()(1)NkkmNNmXkWXkWN10)1(1NnknNNNW所以，0,1)(kWNkXkN，即1,,2,1102)1()(NkWNkNNkXkN2．已知下列X(k)，求x(n)=IDFT［X(k)］jje2()e20NkmNXkkNmk其它(1)(2)jjje2()je20NkmNXkkNmk其它其中，m为正整数，0mN/2,N为变换区间长度。nmNNmnNNNN)(π2jjπ2jjee2ee21解:（1）10)(1)]([IDFT)(NkknNWkXNkXnx)π2(j)π2(jee21mnNmnNmnNπ2cosn=0,1,…,N－1(2)jj()1N()jeje22mnNmnNNNxnWWN]ee[j21)π2(j)2π(jmnNmnNmnNπ2sinn=0,1,…,N－13．已知长度为N=10的两个有限长序列：950401)(1nnnx≤≤≤≤951401)(2nnnx≤≤≤≤做图表示x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)*x2(n)，循环卷积区间长度L=10。解:x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)*x2(n)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。题3解图4．证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT［X(n)］=Nx(N－k)证：因为10)()(NnknNWnxkX所以101010)()()]([DFTNnNnknNNmmnNknNWWmxWnXnX1010)()(NmNnkmnNWmx由于10,010)(NmkNmkNmNWNnkmnN≤≤所以DFT［X(n)］=Nx(N－k)k=0,1,…,N－15．如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理10)(1)0(NkkXNx证:由IDFT定义式101,,1,0)(1)(NkknNNnWkXNnx可知10)(1)0(NkkXNx6．设x(n)的长度为N，且X(k)=DFT［x(n)］0≤k≤N－1令h(n)=x((n))NRmN(n)mH(k)=DFT［h(n)］mN0≤k≤mN－1求H(k)与X(k)的关系式。解:H(k)=DFT［h(n)］0≤k≤mN－1令n=n′+lN,l=0,1,…,m－1,n′=0,1,…,N－1,则2π()11j00()(())enlNmNkrNNlnHkxnlN2π2π2π111jjj000()eeemNrnklklkmNmmlnlkxnXr因为2π1j0e0mlkmlkmmkm整数整数所以()0kkmXmmXkkm整数整数7．证明:若x(n)为实序列，X(k)=DFT［x(n)］N，则X(k)为共轭对称序列，即X(k)=X*（N－k)；若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N－n)，则X(k)也实偶对称；若x(n)实奇对称，即x(n)=－x(N－n)，则X(k)为纯虚函数并奇对称。证:(1)由教材(3.2.17)~(3.2.20)式知道，如果将x(n)表示为x(n)=xr(n)+jxi(n)则X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)其中，Xep(k)=DFT［xr(n)］，是X(k)的共轭对称分量；Xop(k)=DFT［jxi(n)］,是X(k)的共轭反对称分量。所以，如果x(n)为实序列，则Xop(k)=DFT［jxi(n)］=0，故X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)，即X(k)=X*(N－k)。（2）由DFT的共轭对称性可知，如果x(n)=xep(n)+xop(n)且X(k)=Re［X(k)］+jIm［X(k)］则Re［X(k)］=DFT［xep(n)］,jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］所以，当x(n)=x(N－n)时，等价于上式中xop(n)=0,x(n)中只有xep(n)成分，所以X(k)只有实部，即X(k)为实函数。又由（1）证明结果知道，实序列的DFT必然为共轭对称函数，即X(k)=X*(N－k)=X(N－k)，所以X(k)实偶对称。同理，当x(n)=－x(N－n)时，等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列，即X(k)共轭对称，X(k)=X*(N－k)=－X(N－k),为纯虚奇函数。8．证明频域循环移位性质：设X(k)=DFT［x(n)］，Y(k)=DFT［y(n)］，如果Y(k)=X((k+l))NRN(k)，则)()]([IDFT)(lnnxWkYnyN证：10)(1)]([IDFT)(NkknNWkYNkYny10))((1NkknNNWlkXN1()01(())NlnklnNNNkWXklWN令m=k+l,则1ln))((1)(NlmmnNNNWmXNWny10lnln)()(1NmNmnNNnxWWmXNW9．已知x(n)长度为N，X(k)=DFT［x(n)］，为自然数，mmNnNNnnxny1010)()(≤≤≤≤10)]([DFT)(mNknykYmN≤≤求Y(k)与X(k)的关系式。解:110010()()()()mNNknknmNmNnnkNnmNnYkynWxnWkkxnWXmm整数10．证明离散相关定理。若X(k)=X1*(k)Ｘ2(k)则102*1)())(()()]([IDFT)(NlNNnRnlxlxkXnx证：根据DFT的惟一性，只要证明1*120*12DFT[()]DFT[()(())()]()()NNNNNlxnxlxlnRnXkXk即可。knNNnWnxnxkX10)()]([DFT)(10102*1))(()(NnknNNlNWnlxlx10102*1))(()(NlNnknNNWnlxlx*11()1200()(())NNklklnNNNlnxlWxlnW1*()120()(())NklnNNnXkxlnW令m=l+n，则11()220(())(())NNlklnkmNNNNnmlxlmWxmW1122200(())()()NNkmkmNNNmmxmWxmWXk所以10)()()(2*1NkkXkXkX≤≤当然也可以直接计算X(k)=X1*