吕林根解析几何(第四版)(完整课件)

第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.2向量的加法§1.3数量乘向量§1.4向量的线性关系与分解§1.5标架与坐标§1.6向量在轴上的射影§1.7两向量的数量积§1.8两向量的向量积§1.9三向量的混合积§1.10三向量的双重向量积§1.10三向量的双重向量积定义1.10.1给定空间三向量,先作其中两向量的向量积,再作所得向量与第三个向量的向量积,则最后的结果仍然是一个向量,叫做所给三个向量的双重向量积.例如,即为的双重向量积.()abc,,abc定理1.10.1证明:如果中有一个为,或共线,或与都垂直,则定理中等式两边都是,所以定理成立.现设为三个非零向量,且不共线,先证即时情况成立.()()().abcacbbca,,abc0,abc,ab0,,abc,ab()()().abaaabbaaca由于共面,且不共线,可设(1)上式两边分别与作数量积得考虑§1.8中例2的结果,联立上面两式,得代入(1),则得(),,abaab,ab().abaab,ab2()0,aab22()().abbab,ab2.a()()().abaaabbaa下证定理中等式成立.因为不共面,则对于空间任意向量,有则利用前面证明的等式,,ababc(),cabab()()(())abcababab[()]()abaabb[()]()ababab()()().abaaabbaa则()[()]()abcababab[()()][()()]aabababbabab22[()][()]aabbabba22()()()()abababaabb[(())][(())]aababbbababa()().acbbca推论:证明:注1:,即不满足结合律.注2:三向量的双重向量积等于中间的向量与其余两向量的数量积的乘积减去括弧中另一个向量与其余两向量的数量积的乘积.()()().abcacbabc()()abcbca()cba()().acbabc()()abcabc注3:拉格朗日(Lagrange)恒等式证明:''()('')''aaabababbabb()('')[()']'abababab[(')(')]'aabbaab(')(')(')(').aabbbaab当时,即有','aabb2222()().ababab例1试证雅可比(Jacobi)恒等式证明：三式相加,则得所要证的等式.()()()0.abcbcacab()()(),abcacbbca()()(),bcabaccab()()().cabbcaabc例2证明证明:()('')(')'(')'abababbaabab('')('').aabbbaba()('')[()']'[()']'abababbaabab(')'(')'.abbaabab()('')('')()abababab[('')('')]abbaabab('')('')abababba('')('').aabbbaba