一元二次方程动点问题讲解

一元二次方程中的动点问题例1如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积为450cm²?通过观察，有两种情况：（1）蚂蚁未爬完OA这段距离（2）蚂蚁爬完OA这段距离后，再由O点向B爬行0CBA··PQ0CBAQ··P例1如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积为450cm²?（1）蚂蚁未爬完OA这段距离op=50-2x0CBA··PQ解：设离开A点x秒后，oq=3x∴S△OPQ=½×(50-2X)×3X∴450=½×(50-2X)×3X∴X²-25X+150=0解得：X₁=10;X₂=15例1如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积为450cm²?X²-25X-30=0解：当蚂蚁爬完OA这段距离用了25秒，再继续爬时；0CBA··PQOQ=3X；OP=2X-50；∴S△OPQ=½×(2X-50)×3X∴450=½×(2X-50)×3X解得：X₁=-5(舍去）;X₂=30解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，△OPQ的面积为450解：设x秒后，三角形的面积为8∵0≤x≤6BQ=2Xn--5例2在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后⊿PBQ的面积等于8cm2？QPCDBA依题意列方程：½2x(6-x)=8则AP=XcmPB=6-X··解这个方程，得2680xx122,4xx整理得到所以2秒或4秒后⊿PBQ的面积等于8cm²例3：等腰直角⊿ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?QRPCBA解：设AP=X，PB=8-X·∴S◇=底×高整理：x²-8x+16=0整理：x₁=x₂=4∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2以题意得方程：CQ×PB=16即得方程：x×(8-x)=16例3：等腰直角⊿ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?QRPCBA解：设AP=X，PB=8-X∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²∴S△ABC=32S△APQ=½(X)²S△BPQ=½(8-X)²∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ整理：x²-8x+16=0整理：x₁=x₂=4∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2·(1)解：∠BAC=45°,AP=x,(0＜x≤2)例4：⊿ABC中,AB=3,∠BAC=45°,CD⊥AB,垂足为D,CD=2,P是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.1)设⊿ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函数关系式;2)当x为何值时,直线L平分⊿ABC的面积?ACBD∴S△APQ=½×x×x=½x²当L位于CD的左侧时,与AC交于点Q,则PQ=XL·pQ(1)解：∠BAC=45°,AP=x,AP=X,PB=3-X例4：⊿ABC中,AB=3,∠BAC=45°,CD⊥AB,垂足为D,CD=2,P是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.1)设⊿ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函数关系式;2)当x为何值时,直线L平分⊿ABC的面积?ACBD∴当L位于CD的右侧时,与BC交于点Q∴S△PQB=½PB×PQ=½（3-x)×2（3-x)=（3-x)²由小学学习的比例计算PQL·pQCD=2,PQ=?∴(2≤x＜3)即：CD:DB=PQ:BQ∴2:1=pQ:3-X∴pQ=2(3-X)∴S△=S△ABC-S△PBQ=3-（3-x)²∴(2≤x＜3)∴当1＜x＜2时可能平分例4：⊿ABC中,AB=3,∠BAC=45°,CD⊥AB,垂足为D,CD=2,P是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.1)设⊿ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函数关系式;2)当x为何值时,直线L平分⊿ABC的面积?(2)解：∠BAC=45°,AD=2,∴S△ABC=3，S△ADC=2221212321x3x3x时可能平分ACBDL·p∴负值不符合题意，应舍去例5：客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行,将一批物品送达客轮,两船若同时起航,并同时到达折线A-B-C上的某点E处,已知AB=BC=200海里,∠ABC=90°,客轮速度是货轮速度的2倍.i)选择:两船相遇之处E点()A.在线段AB上;B.在线段BC上;C.可以在线段AB上,也可以在线段BC上;·客轮DCBA··货轮Bii)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?(结果保留根号)F·客轮DCBA··货轮ii)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?(结果保留根号)解：设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里，过D作DF⊥CB，连接DE，则DE=x，AB+BE=2x，DF=100，EF=300-2x，在Rt⊿DEF中，E222DEDFEF2222300100xx解方程，得36100200x20036100200x36100-200DE练习1：在△ABC中,AC=50cm,CB=40cm,∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动,同时另一点Q由C点以3cm/s的速度沿着CB边移动,几秒钟后,PCQ的面积等于450cm2?QBACP练习2:在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D做DE平行于BC,DF平行于AC,点E.F分别在AC,BC上,问：点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？ＤＡＢＤＥＣF