传统方法求二面角

2014届高三理科数学专题复习传统方法求二面角平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面）。二面角的大小可以用它的平面角度来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示（如图1）。二面角的范围：0。图1【1】定义法在棱上取一点A，然后在两个平面内分别作过棱上A点的垂线。有时也可以在两个平面内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线。一般地，可以选择经过棱上的特殊点，如中点、端点、分点等作垂线。其作法及基本原理如图2。图2作出二面角l的平面角：①：在平面α、β的交线l上任取一点O；②：过O点分别在α、β内作交线l的垂线，所成∠AOB即为二面角l的平面角。例1在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小.解析由题意作出图3，连接AC，不难得出其中各边的数量关系.观察到△PBC中，满足PB2+BC2=PC2，则它是一个直角三角形.同理，△PDC也是一个直角三角形，且它们全等.过B点作BH⊥PC，垂足为H，连接DH，有DH⊥PC，则∠BHD为二面角B-PC-D的平面角.图3利用直角三角形射影定理，BH、DH长度可用a表示为a36.连接BD，其长度为a2，在△BHD中，由余弦定理可得212222DHBHBDDHBHBHDcos，∵0∠BHDπ，∴∠BHD=32，即二面角B-PC-D的大小为32.提示二面角B-PC-D即为平面BPC与平面PCD所成角.2014届高三理科数学专题复习【2】三垂线定理法先在其中一个面任取一个点，找到该点在另一个平面上的投影，再过该投影作棱的垂线，连结原先任取的点与垂足即得二面角的平面角.三垂线定理：平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.（如图4）利用三垂线定理法作二面角的平面角的原理如图5所示.其中，上面的一排是立体图解，下面为对应从正面的视野看到的平面图解.①从一平面上一点A作②过垂足B作棱的垂③连结垂足与原先所其在另一平面内的投线（棱即为两个面取的点A，得到二影（即找到另一平面的交线），垂足记面角的平面角即为过点A的垂线）；垂为O；∠AOB.足记为B；图5例2如图6所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB//CD，AD=CD，∠BAD=120°，∠ACB=90°：（2）求二面角D-PC-A的余弦值.解析∵AB//CD，∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，又AD=CD，∴△ACD为等边三角形.取AC的中点O，则DO⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥DO，∴DO⊥平面PAC.过O作OH⊥PC，垂足为H，连DH，由三垂线定理知DH⊥PC.∴∠DHO为二面角D-PC-A的平面角.由43OH，23DO，∴2OHDODHOtan.故所求二面角的余弦值为55.提示注意利用题目所给的已知条件，通过等腰、等边三角形中点的性质去寻找.一般地，遇到求二面角的题目，如例2求二面角D-PC-A的余弦值，我们先看看D点在平面PAC上的投影是否好找.若不好找，则换成另一边，再试试看A点在平面PCD上的投影是否好找，从而确定以哪一点为起始点.D-PC-A或D-PC-A图4图6图72014届高三理科数学专题复习【3】垂面法作与棱垂直的平面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角.利用垂面法求二面角的平面角的原理如图8所示.已知α∩β=l，作出二面角α-l-β的步骤：作出垂直棱的一个平面γ，与α，β交于两条线，则这两条交线所成角即为二面角α-l-β的平面角.图8例3如图9，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交SC、AC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角D－BE－C的大小.解析∵BS=BC，SD=DC，∴SC⊥BD，又∵SC⊥DE，∴SC⊥面BDE.∴SC⊥BE.又∵BE⊥SA，∴BE⊥面SAC.∴∠DEC为二面角D-BE-C的平面角.设SA=a，则SB=BC=a2.∵BC⊥AB，SA⊥平面ABC.∴BC⊥SB.∴SC=2a，∠SCE=30°，∴∠DEC=60°，即二面角D-BE-C的大小为60°.提示本题中，平面DBE与平面BEC的交线为BE，又证得BE垂直平面SAC，故可考虑用垂面法作二面角.由图得平面SAC与平面DBE和平面BEC的交线分别为DE、EC，则∠DEC即为二面角D-BE-C的平面角，进而由图中各边数量关系求得该二面角大小.【4】射影定理法利用射影定理：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值，即：S射影=S斜面cosθ，或斜射SScos.利用射影定理求二面角的方法原理如图10所示.例4（2001·全国理T17改编）如图11，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝0.5.（2）求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值.解析记面SCD与面SBA所成二面角为α，由面积射影定理得S△SCD·cosα＝S△SBA得SCDSBASScos不难发现，SD＝CD＝25，SC＝3，过D作DH⊥SC，知H是SC中点，DH＝2222CHCD，则S△SCD＝4621DHSC，S△SBA＝2121ABSA故面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值为36cos.提示射影定理法可以解决无棱二面角（图中找不到二面的交线）的问题.图9图10图11图12