与三角形有关线段-角-知识点总结

知识点总结一、三角形的有关概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。三角形的特征：①不在同一直线上；②三条线段；③首尾顺次相接；④三角形具有稳定性。2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高（1）角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（2）中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。（3）高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段；②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点；三角形的高可能在三角形的内部（锐角三角形）、外部（钝角三角形），也可能在边上（直角三角形），它们（或延长线）相交于一点。二、三角形的边和角三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边。由三边关系可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。三、三角形内、外角的关系1.三角形的内角和等于180°。2.直角三角形的两个锐角互余。3.三角形的一外角等于和它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4.三角形的外角和为360°。四、等腰三角形与直角三角形:1.等腰三角形：有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，三条边都相等的三角形叫做等边三角形（或正三角形）。说明：等边三角形是等腰三角形的特殊情况。2.直角三角形：有一个角是直角的三角形是直角三角形，它的两个锐角互余。五、三角形的分类：六、三角形的面积：1.一般计算公式；2.性质：等底等高的三角形面积相等。常见考法（1）考查三角形的性质和概念；（2）根据三角形内角和以及内、外角关系，给出已知两角，来求第三个角；（3）根据三角形内、外角的关系，比较两角大小的；（4）利用三边关系判断三条线段能否组成三角形或给出三角形的两边长，来确定第三边长的取值范围，亦或证明线段之间的不等关系。误区提醒忽略构成三角形的条件。【典型例题】（2010年山西）现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】选4cm，6cm，8cm可以组成1个，选6cm，8cm，10cm可以组成1个，选4cm，8cm，10cm又可以组成1个，所以能组成的三角形个数为3个，故本题选C一、全等图形、全等三角形：1.全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形。2.全等图形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。二、全等三角形的判定：1.一般三角形全等的判定（1）边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“SSS”）。（2）边角公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“SAS”)。（3）角边角公理：两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“ASA”)。（4）角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“AAS”)。2.直角三角形全等的判定利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“HL”)．注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。三、角平分线的性质及判定：性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。常见考法（1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等；（2）利用判定公理来证明两个三角形全等；（3）题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。误区提醒（1）忽略题目中的隐含条件；（2）不能正确使用判定公理。