第6节无穷小量的比较

第六节无穷小量的比较一、无穷小量的比较二、等价无穷小量代换引两个无穷小量的和、差与乘积仍是无穷小量，但是两个无穷小量的商，会出现什么情况？一、无穷小量的比较观察下列极限xxx3lim20xxxsinlim0,0,1当x0时,3x,x2,sinx都是无穷小,203lim,xxx上述极限中,分子、分母都是无穷小,但不同比的极限各不相同,反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度.下面给出无穷小量比较的几个概念.定义1,设是自变量同一变化过程中的无穷小,,0lim（1）若则称是比高阶的无穷小,)(o,lim（2）若（3）若,0limC记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;（4）若)0(,0limkCk则称是的k阶无穷小.,1lim若~~或则称是的等价无穷小,记作例如,当)(o～0x时3x26xxsin;xxtan;～xxarcsin～x20cos1limxxx220sin2limxx又如，22)(4x21故时是关于x的二阶无穷小,xcos1221x～且例1.求解:原式例2.求解:令,1xat则,)1(logtxa原式)1(loglim0ttat说明:当时,有~)1ln(x~1xexx例3.证明:当时,～证:11nx～xn1nnba)(ba1(naban2)1nbsin~,arcsin~,xxxx常用的等价无穷小：当x0时tan~,arctan~,xxxxln(1)~,xx,ln~)1(logaxxaaxaxln~1111~,nxxn+-211cos~,2xx1~,xex222x()11~.xxaa+-一般形式)0)(()(~))(1ln(xfxfxf如其他公式类似~10sinxax如~cos1,03xx~1231523xx时，0x)23(5123xxaxlnsin26x定理1在自变量的同一变化过程中,,,lim且存在，则limlim.二、等价无穷小量代换lim)lim(limlimlimlim.证例4求解因为当.2tansinlim0xxx,2~2tan,~sin,0xxxxx时所以.212lim2tansinlim00xxxxxx例5求解.3tanlim20xxxx.313lim3tanlim2020xxxxxxxx例6求解.sintanlim30xxxx210,1cos~,2xxx时故3300tan1costansinlimlimxxxxxxxx32021limxxxx.2130limxxxx原式注意：等价无穷小替换忌“加减”。即对于代数和各无穷小不能分别替换。例7.求.1cos1)1(lim3120xxx解:.sinlimsin0xxeeIxxx解:.sin1limsinsin0xxeeIxxxx1例9.求例83220sin)1ln()12)(cos1(limxxxxx32402ln2limxxxxx.22ln例10.求解作业P573,4例11.113tan21lnlim3220xxxxxIxuu21~11解32203tan21lnlim2xxxxxIx]3tan21ln[lim2322320xxxxxxxx10)32(2xx2~21ln223~3tanxx]32[lim23223220xxxxxxx]1312[lim20xxx例12131)1()1()1)(1(limnnxxxxx1xt=+令130)11()11)(11(limnnttttt1032limnttnttt.!1n