何子述信号与系统习题解答第7章z变换

第7章习题解答信号与系统何子述高等教育出版社240第7章z变换习题解答一、基本概念与基本运算习题题7.1解：(1)不是任意的信号都存在z变换。反例：()()0001,,cos,sinznnww，……，因为对这些信号，求和式()[]nnFzfnz¥-=-¥=å不收敛。(2)同理，[][]2nfnaun=的z变换不存在。题7.2解：逆z变换的表达式为[]()11d2πjnfnFzzz-=ò其物理意义是，将离散时间信号[]fn分解成无穷多个离散复指数信号1nz－之和，且1nz－的幅度为[]()d/2πjfnFzz=，复数z的取值是包含原点的闭合路径。积分路径不是唯一的，使积分收敛的闭合路径均可。题7.3解：（a）将式[][][]δ2δ2fnnn=-++代入主教材式()[]nnFzfnz¥-=-¥=å中，可求得()[][][]{}[][]δ2δ2δ2δ2nnnnnnnnFzfnznnznznz¥¥--=-¥=-¥¥¥--=-¥=-¥==-++=-++åååå利用单位冲激信号的筛选性，可得()22,0Fzzzz-=+¥（b）将式[][]1122nfnun-æö÷ç=+÷ç÷çèø代入z变换定义式，可得第7章习题解答信号与系统何子述高等教育出版社241()[]1212nnnnnFzfnzz-¥¥--=-¥=-æö÷ç==÷ç÷çèøåå将2,1n=--单独列出，上式可表示为()21018422nnFzzzz＋¥-=æö÷ç=+÷ç÷çèøå当1112z-时，即12z时，求和项收敛，有()21284112Fzzzz-=+-＋整理得z变换为()2181,1212zFzzz-=-（c）将式[]()[]22nfnun=---代入z变换定义式，可得()[]2(2)nnnnnFzfnzz¥---=-¥=-¥==-åå在上式中，令nm=-()212mmFzz¥=æö÷ç=-÷ç÷çèøå补充0,1m=两点，有()011122mmFzzz¥=æö÷ç=-++-÷ç÷çèøå当112z时，即2z时，求和项收敛，有()1111212Fzzz=-+++整理得z变换为()214112zFzz=+，2z第7章习题解答信号与系统何子述高等教育出版社242（d）将信号[]()[][]{}323nfnunun=-+--代入z变换定义式，可得()[]()[][]{}()2123233nnnnnnnFzfnzununzz¥¥--=-¥=-¥-=-==-+--=-ååå在上式中令=+2mn()()()4211033mmFzzz---==--å可求得()12132311(3)(3)/9+27=1313zzzzFzzz---------=++（e）将信号[]2nfn=代入z变换定义式，可得()[]()12nnnnFzfnzz¥¥--=-¥=-¥==åå上式中，对任意的z，级数均不收敛，所以()Fz不存在。（f）将信号[]()[][]12nfnunun=--+-代入z变换定义式，可得()[]()[][]{}()()011212nnnnnnnnnFzfnzununzzz¥¥--=-¥=-¥¥--=-¥===----=---åååå上式中，找不到合适的z，使两个求和项同时收敛，所以()Fz不存在。题7.4解：（1）由于()()()111111111111112223131211121424zzzFzzzzzz--------æöæöæö÷÷÷ççç-+-÷÷÷ççç÷÷÷çççèøèøèø==æöæöæö÷÷÷ççç+++++÷÷÷ççç÷÷÷çççèøèøèø函数()Fz有两个零点，1210,2zz==；两个极点1232,4pp=-=-。可得零极点图如图J7.4.1所示。第7章习题解答信号与系统何子述高等教育出版社243ReIm0z图J7.4.1()Fz的零极点图（2）()Fz有三种可能的收敛域，分别如下34z，[]fn是左向信号；324z，[]fn是双向信号；2z，[]fn是右向信号。题7.5解：由原教材图P7.5，有()()()()111111611551111212112222zzzFzzzzzzz------++===+æöæö-÷÷çç++-+-÷÷çç÷÷ççèøèø（1）若[]fn为左边信号，()Fz的收敛域应为最靠近原点的极点的圆内z平面，所以收敛域为12z，根据主教材的z变换对[]111,1naunzaazZ----¬¾¾-，可求得[][][]116121525nnfnununæö÷ç=------÷ç÷çèø（2）若[]fn为右边信号，()Fz的收敛域应为最远离原点的极点的圆外z平面，故收敛域为2z，根据主教材的z变换对[]11,1naunzaazZ-¬¾¾-，可求得第7章习题解答信号与系统何子述高等教育出版社244[][][]1162525nnfnununæö÷ç=--+÷ç÷çèø（3）若[]fn的傅里叶变换存在，则()Fz的收敛域应包含单位圆，故收敛域为122z，且极点112p=-位于收敛圆环内，应为右边信号极点；而极点22p=位于收敛圆环外侧，为左边信号极点，可求得[][][]11621525nnfnununæö÷ç=-----÷ç÷çèø题7.6解：设[](),fnFzazbZ¬¾¾，则[]0000,nzzfnFazzbzzZæö÷ç÷¬¾¾ç÷ç÷çèø。由于信号[]fn的z变换有两个极点，且113p=-，设另一极点为2p，收敛域有四种情况：（1）ROC：21min,=3zpbìüïïïïíýïïïïîþ若是这种情况，则信号[]12nfnæö÷ç÷ç÷çèø的z变换的收敛域12zb不可能包含单位圆1z=，这与条件信号[]12nfnæö÷ç÷ç÷çèø的傅里叶变换存在矛盾。（2）ROC：21max,=3zpaìüïïïïíýïïïïîþ若是这种情况，当信号[]12nfnæö÷ç÷ç÷çèø的z变换的收敛域12za包含单位圆1z=时，信号[]14nfnæö÷ç÷ç÷çèø的z变换的收敛域14za也一定包含单位圆1z=；这与信号[]14nfnæö÷ç÷ç÷çèø的傅里叶变换不存在矛盾。（3）ROC：2211,33zpp第7章习题解答信号与系统何子述高等教育出版社245若是这种情况，信号[]12nfnæö÷ç÷ç÷çèø的z变换的收敛域21162zp不可能包含单位圆1z=，这与条件信号[]12nfnæö÷ç÷ç÷çèø的傅里叶变换存在矛盾。（4）ROC：2211,33pzp若是这种情况，信号[]12nfnæö÷ç÷ç÷çèø的z变换的收敛域为21126pz，并考虑信号[]12nfnæö÷ç÷ç÷çèø的傅里叶变换存在，所以有2112p，即22p。同时考虑信号[]14nfnæö÷ç÷ç÷çèø的傅里叶变换不存在，应满足2114p，即24p。综上所述，信号[]fn应为双边信号，且极点2p满足224p。题7.7解：设()Fz的偶部和奇部为()()()e2FzFzFz+-=，()()()o2FzFzFz--=设[]()fnFzZ¬¾¾，由变换性质式()[]()1nfnFzZ-¬¾¾-，可求得(){}[]()[]1e112nFzfnfn-éù=+-êúëûZ(){}[]()[]1o112nFzfnfn-éù=--êúëûZ题7.8解：根据已知条件（1）、（2）、（3）可得()ππjj244π111cosee4422kzkzFzzzzz-==æöæö÷÷çç-+÷÷--çç÷÷çç÷÷ççèøèø由()22F=，可解得常数第7章习题解答信号与系统何子述高等教育出版社2461724k=-将k值代入()Fz可得()1ππjj114417214,2111e1e22zFzzzz----æö÷ç-÷ç÷çèø=æöæö÷÷çç÷÷--çç÷÷çç÷÷ççèøèø题7.9解：（1）证明：因[][]fnfn=-，由z变换定义()[][]nnnnFzfnzfnz¥+¥--=-¥=-¥==-åå在上式中，令mn=-，则()[][]+11==mmmmFzfmzfmFzz-¥¥=-¥=-¥æöæö÷÷çç=÷÷çç÷÷ççèøèøåå（2）证明：若[]fn为实的偶序列，则有()()**1FzFzFzæö÷ç==÷ç÷çèø若jeizqr=是()Fz的一个零点，则有()()**11=0,0iiiiFzFFzFzzæöæö÷÷çç÷÷===çç÷÷çç÷÷ççèøèø所以，j1eqr-，jeqr-，j1eqr也是()Fz的零点。同理可证明极点的情况。题7.10解：由已知z变换对，可得信号[]1fn和[]2fn的z变换为()111,212Fzzz-=-()2111,1313Fzzz-=-由主教材z变换的时移特性和时域反转特性，可得第7章习题解答信号与系统何子述高等教育出版社247[]()111111,212zfnzFzzzZ----¬¾¾=-[]22131,313zfnzzZ----+¬¾¾-再由z变换的时域卷积特性，可求得()()()3113,231213zYzzzz----=--题7.11解：（1）由已知，可得[][][][][][][]4δδ1δ2δ3fnununnnnn=--=+-+-+-则[]fn的波形如图J7.11.1所示。又因为[][][]ynfnfn=*，便可得[][][][][][][][]δ2δ13δ24δ33δ42δ5δ6ynnnnnnnn=+-+-+-+-+-+-则[]yn的波形如图J7.11.2所示。0121n[]fn3图J7.11.1信号fn的波形图0126421233nyn4图J7.11.2信号[]yn的波形图第7章习题解答信号与系统何子述高等教育出版社248（2）由卷积的线性和时移特性，有()()()44211111111111zzFzzzzzz--------=-==++---()()()123456123432YzFzFzzzzzzz------==++++++对上式直接取逆z变换可得[][][][][][][][]δ2δ13δ24δ33δ42δ5δ6ynnnnnnnn=+-+-+-+-+-+-可以看出，两种方法结论是相同的。题7.12解：令响应[][][]ynfnhn=*，则()()()YzFzHz=，两边关于z求导，有()()()()()()()dddd+ddddFzHzYzFzHzHzFzzzzzéùëû==由z变换的z域微分特性，有[]()()()()()()()ddd+dddYzFzHznynzzHzFzzzzzZéùéùêúêú¬¾¾-=--êúêúëûëû且有[]()ddFznfnzzZ¬¾¾-，[]()ddHznhnzzZ¬¾¾-根据上两式，利用z变换的时域卷积特性可得[][]{}[]{}[][][]{}nfnhnnfnhnfnnhn*=*+*题7.13解：（a）信号[]fn可表示为如下形式[]()[][]00jj000eecos112nnnnfnrnunrun=--=--由主教材式[]1111unzZ----¬¾¾-，可求得[][]1111,11fnunzzZ--=--¬¾¾-再由z域尺度变换特性及线性可得()()()001000jj12211000001+cos1111,2212cos1e1erzFzzrrzrzrzrz=+=-+--（b）信号[]fn可表示为如下形式第7章习题解答信号与系统何子述高等教育出版社249[]()[][]00jj000eesin112jnnnnfnnrnunnrun=--=--由主教材式[]1111unzZ----¬¾¾-，可求得[][]1111,11fnunzzZ--=--¬¾¾-再由z域微分特性可得[][]()121d11,1d11znfnnunzzzzzZ-æö--÷ç=--¬¾¾-=÷ç÷çèø--再由z域尺度变换特性可得[][]()()000000jjjj001022jj