对数及其运算教案

课题：§4.1对数及其运算（必修1）教学设计一、教材及学情分析§4.1对数及其运算是北师大版普通高中数学课程标准实验教科书《数学1（必修）》第三章第四节第一课时，是在系统学习研究函数的一般方法、指数的概念及运算性质,基本掌握指数函数的概念及性质的基础上引入的，既是指数有关知识的承接和延续，又是后续研究对数函数、探讨函数应用的基础,本节共两课时，本课是第一课时，重点研究对数的概念、性质及其运算性质,本教学设计以数学实验为背景，引入对数概念，在使学生认识引进对数必要性的同时,强化学生的数学应用意识，“思考交流”旨在引导学生进一步厘清指数式与对指数式之间的关系，明确1和底数对数的特点，深化真数取值范围的理解，为对数函数学习打下伏笔。常用对数及自然对数是对数的特例,教材将其安排在对数性质之后，旨在引领学生经历“特殊——一般——特殊”的过程，进一步发展学生的理性思维。再由学生的“动手实践”，分析教材中给出的一系列数据中的等量关系，总结猜想出规律，再进行证明，并把在学习过程中，由于对公式辨认不清而常发生的错误，作为“思考交流”，是为了让学生经历数学发现的过程。因此，本节内容无论是只是传承，还是数学思想方法的强化渗透，都具有非常重要的奠基作用。经历了义务教育阶段学习的高一学生，思维正处于由经验型向理论型过渡与转型期，思维的发散性与聚敛性基本成型，已具有研究函数和从事简单数学活动的能力，加之指数及指数函数等知识铺垫，对于本单元学习奠定了必要的知识和经验基础。二、教学目标：1.知识与技能（1）理解对数的概念；（2）通过实例推到对数的运算性质，准确地运用对数的运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能；（3）能熟练地进行对数式与指数式的转化，掌握对数的运算性质.2.过程与方法经历由指数得到对数的过程，并引出对数运算性质的研究，在这个过程中进行猜想得出规律，再进行证明，体现了化归的思想.3.情感、态度与价值观让学生探索、研究、体会，感受对数概念的形成和发展的过程.三、重点与难点1．重点：对数的定义，对数的运算性质及应用.2．难点：对数符号的理解.四、教法选择根据教材及学情特点，本课利用“导学案”，以“尝试指导，效果回授”教学法为主，辅之于合作学习和自主学习。以问题为主线，活动为载体，力求创设高效的教学情境,引导学生在在观察中思考，在思考中探索，在探索中发现，在发现中收获，在收获中创新，在创新中升华，通过具有一定层次梯度的问题序列，多角度、全方位训练学生思维的聚敛性和发散性。为增大课堂容量，“注重信息技术与数学课程的整合”（课标语），借助多媒体辅助教学,为学生的教学探究与教学思维提供支持.五、教学过程（一）创设情境，导入新课问：我国的珠穆朗玛峰现在的高度是多少？答：2005珠峰高程测量获得的新数据为：珠穆朗玛峰峰顶岩石面海拔高程8844.43米.请同学们来做这样一个实验,大家拿出一张纸,越大越好,现进行第一次对折,再进行第二次对折,再进行第三次对折,就这样继续折下去,请问需折多少次,叠起的纸的厚度就可以达到珠穆朗玛峰的高度?（假设这张纸厚0.5毫米）解：假设折x次,叠起的纸的厚度就可以达到珠穆朗玛峰的高度，则30.51028844.43x即217688860x实际问题转化为已知217688860x，求?x处理：揭示问题的本质——已知底数和幂，求指数，这就是我们本节课要解决的问题，板书课题：§4.1对数及其运算【设计意图】通过实验让学生思考如何表示x，激发其对对数的兴趣，培养学生的探究意识.生活及科研中还有很多这样的例子，因此引入对数是必要的.（二）诱导尝试，探究新知1、引导观察，探获本质——建构对数概念（1）（课件出示）对数的定义：一般地，如果(0,1)aaa的b次幂等于N，即Nab，那么数b叫作以a为底N的对数，记作：logaNb.其中a叫作对数的底数，N叫作真数.logaN读作以a为底N的对数.注意：①底数的限制:1,1aa；②对数的书写格式.【设计意图】正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数函数定义域的确定作准备.同时注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误.思考1：式子Nab与log(0aNba且1,0)aN有什么关系？解答：（课件动画演示）bNNaablog思考2：bNalog中的N的取值范围？零与负数有没有对数？解析:因为在指数式中0N，所以对数式中的0N，从而可得负数与零没有对数。例1．将下列指数式写成对数式：（1）62554；（2）64126；（3）73.531m）（.解：5(1)log6254；21(2)log664；13(3)logm．例2.将下列对数式写成指数式：（1）12log164；（2）10log0.012解：（1）16)21(4；（2）2100.01（2）两种特殊对数（课件出示）①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便,N的常用对数N10log简记作Nlg．所以例2（2）常简记作lg0.012.②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数2.71828e……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数Nelog简记作Nln．所以例2（3）简记作ln102.303.【设计意图】这两个重要对数一定要掌握，为以后的解题以及换底公式做准备.反馈练习1:有下列四个命题：(1)若5log3x，则15x；(2)若251log2x，则5x；（3）若5log0x，则5x；(4)若15log3x，则125x.其中正确的命题是（2）（4）方法归纳：bNNaablog.2、合作探究，适时类化——揭示概念本质探究1：对数式log1a；logaa（0a且1a）.探究2：若将Nab中的b换成Nalog，你们有什么发现？处理：学生独立探索、合作交流，教师巡回视导，重点关注学生是否从定义出发，考察相关字母名称及取值范围，因势利导；②根据学生讨论情况，运用自定义动画完善此表.探究结果：探究1:根据对数的定义以及对数与指数的关系01loga，1logaa；∵对任意0a且1a,都有10a∴01loga同样易知：1logaa探究2：如果把Nab中的b写成Nalog,则有NaNalog————对数恒等式【设计意图】探究活动由学生独立完成后，通过思考，然后分小组进行讨论，最后得出结论。通过讨论的方式,让学生自己得出结论,从而更能好地理解和掌握对数的性质。培养学生类比、分析、归纳的能力。最后，将学生归纳的结论进行小结，从而得到对数的基本性质。例3．求下列各式的值：（1）ln1；（2）3log3；（3）3log53；（4）2log8；（5）2log32；（6）2log(832)；（7）28log()32.解:（1）ln10；（2）3log31；（3）3log535;（4）2log83；（5）2log325；（6）2log(832)8;（7）2281log()log2324.3、动手实践，猜想归纳——探索对数的运算性质（1）请同学们注意观察例3中的第(4)(5)(6)的值，试试能找到它们的一个等量关系？发现：222log(832)log8log32猜想：如果0,1,0,0aaMN，则log()aMNloglogaaMN…………①（2）请同学们注意观察例3中的第(4)(5)(7)的值，试试能找到它们的一个等量关系吗？发现：2228log()log8log3232猜想：如果0,1,0,0aaMN,则logloglogaaaMMNN…………②在①中若MN，则2logloglog=2logaaaaMMMM猜想：如果0,1,0,0aaMN，则loglog()naaMnMnR…………③（3）证明对数的运算性质：如果0,1,0,0aaMN，则log()aMNloglogaaMN…………①归纳对数的运算性质：如果0,1,0,0aaMN,则①log()loglogaaaMNMN;②logloglogaaaMMNN;③loglog()naaMnMnR.证明：①设log,logaaMpNq由对数的定义可以得：,pqMaNa因为pqpqMNaaa所以log()aMNpq即证得log()loglogaaaMNMN.②设log,logaaMpNq．由对数的定义可以得,pqMaNa因为qpqpaaaNM所以qpNMalog奎屯王新敞新疆即证得NMNMaaalogloglog．③设logaMp由对数定义可以得pMa,因为npnaM所以npMnalog，即证得loglognaaMnM.方法归纳：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式．（4）用课件演示课本81P表3—8的相关数据，加强对对数的运算性质的记忆以及运算性质应用时应注意的真数的取值范围。注：①简易语言表达：“积的对数=对数的和”…②真数的取值范围必须是),0(;③公式逆向运用：如110lg2lg5lg.反馈练习2：下列式子正确的是(3)（１）)5(log)3(log)]5)(3[(log222；（２）222log(35)log3log5；（３）222log(35)log3log5；（４）)10(log2)10(log10210.反馈练习3：若0,1aa，0,0MN且MN，则下列式子中不正确的是(1)(2)(3)(4)（１）log()loglogaaaMNMN；（２）log()loglogaaaMNMN；（３）log()loglogaaaMNMN；（４）logloglogaaaMMNN.（三）变式训练，巩固新知（课件展示）例4．计算：（1）)24(log572；（2）22log12log3；（3）5100lg.解：（1）757514522222log(42)log4log2log2log214519.（2）222212log12log3loglog423.（3）5100lg21=lg1052=lg1052=5．（四）课堂小结，细化新知1、提问：通过本节学习，你有哪些收获？2、在学生回答的基础上，概括如下：本节课主要学习：（1）一个概念，一种方法（对数的概念，利用指数式与对数式的关系求对数值的方法）；（2）两个注意问题：①指数式与对数式互化的关键是弄清N与b在指数式与对数式中的位置关系；②常用对数与自然对数是两种特殊对数，务必牢固掌握；（3）三个结论，三个运算性质：三个结论：①零与负数没有对数;②1log,01logaaa;③NaNalog或babalog.三个运算性质：如果0,1,0,0aaMN，则①log()loglogaaaMNMN;②logloglogaaaMMNN;③loglog()naaMnMnR.【设计意图】总结是一堂课内容的概括，有利于学生系统地掌握所学内容。同时，将本节内容纳入已有的知识系统中，发挥承上启下的作用，为下一课时对数的换底运算打下扎实的基础。（五）课外作业，延展新知必做：1、阅读课本82P例6；2、完成课本87P习题3—4A组第1、2、3、5题选做：课本88P习题3—4B组第1、3题【设计意图】分层作业是使不同的人在数学上可以获得不同的发展，每个学生都能够获得这些数学，有专长的，可以进一步发展.因此设计了不同程度要求的题目.课后反思：根据本节课的内容写一篇数学日记.六、教学反思：本节课我采用先欣赏一组美丽的珠穆朗玛峰图片及做一个小实验激发学生对这节课学习的兴趣，从而引入我们这节课将要学的对数问题，然后书写课题：§4.1对数及其运算，并引导学生阅读对数的定义，同时，定义的讲解注重理解，强调对数是一种求指数的运算，指对数的互化，注意读法、写法等。定义之后，通过