1981年-2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(2)函数与方程

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编函数与方程部分2019A1、已知正实数a满足89aaaa，则log3aa的值为．◆答案：916★解析：由条件知189aa，故91639aaaa，所以9log316aa。2019A二、（本题满分40分）设整数122019,,,aaa满足122019199aaa．记22212201913243520172019faaaaaaaaaaa，求f的最小值0f．并确定使0ff成立的数组122019,,,aaa的个数．★解析：由条件知2017222221220182019212iiifaaaaaa．①由于12,aa及2iiaa（1,2,2016i）均为非负整数，故有221122,aaaa且222iiiiaaaa．于是201620162221221222017201811iiiiiiaaaaaaaaaa②………………10分由①、②得2222017201820192017201820192faaaaaa，结合20192019a及201820170aa，可知2222201720172017201712999949740074002faaaa．③………20分另一方面，令1219201aaa，19202119202kkaak（1,2,,49k），201999a此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而f的最小值07400f．………………30分以下考虑③的取等条件．此时2018201749aa，且②中的不等式均取等，即121aa，20,1iiaa（1,2,2016i）。因此122018149aaa，且对每个k（149k），122018,,,aaa中至少有两项等于k．易验证知这也是③取等的充分条件．对每个k（149k），设122018,,,aaa中等于k的项数为1kn，则kn为正整数，且12491112018nnn，即12491969nnn④，该方程的正整数解1249,,,nnn的组数为481968C，且每组解唯一对应一个使④取等的数组122019,,,aaa，故使0ff成立的数组122019,,,aaa有481968C个………………40分2019B10.（本题满分20分）设,,abc均大于1，满足lglog3lglog4baacbc，求lglgac的最大值。★解析：设lgxa，lgyb，lgzc，由,,1abc，可知,,0xyz。由条件及换底公式得3zxy，4zyx，即34xyzyx，由此令3,4xtyt（0t），则2412120zxxytt，得01t。所以322216lglg31211821833tttacttttt，当且仅当22tt，即23t时取得等号，相应的83100,10abc，所以lglgac的最大值为163。2018A5、设)(xf是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间1,0上严格递减，且满足1)(f，2)2(f，则不等式组2)(121xfx的解集为◆答案：28,2★解析：由)(xf为偶函数及在区间1,0上严格递减知，)(xf在0,1上递增，结合周期性知，)(xf在2,1上递增，又1)()2(ff，2)2()2()28(fff，所以不等式等价于)28()()2(fxff，又22821所以282x，即不等式的解集为28,22018A，B9、（本题满分16分）已知定义在R上的函数)(xf为xxxf41log)(39,90,xx，设cba,,是三个互不相同的实数，满足)()()(cfbfaf，求abc的取值范围。★解析：不妨设cba，由于)(xf在3,0上递减，在9,3上递增，在,9上递减，且0)3(f，1)9(f，结合图像知：3,0a，9,3b，,9c，且1,0)()()(cfbfaf。由)()(bfaf得2loglog33ba，即9ab，此时cabc9，又ccf4)(，由140c得16,9c，所以144,819cabc。2018B7、设)(xf是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间2,1上严格递减，且满足1)(f，0)2(f，则不等式组1)(010xfx的解集为◆答案：4,62★解析：由)(xf为偶函数及在区间2,1上严格递减知，)(xf在1,2上递增，结合周期性知，)(xf在1,0上递增，又1)()4(ff，0)2()62(ff，所以不等式等价于)4()()62(fxff，又14620，即不等式的解集为4,62.2017A1、设)(xf是定义在R上函数，对任意的实数x有1)4()3(xfxf，又当70x时，)9(log)(2xxf，则)100(f的值为◆答案：21★解析：由条件知，1)()7(xfxf，即1)14()7(xfxf，故)14()(xfxf，即函数)(xf的周期为14，所以21)5(1)2()100(fff2017B3、设)(xf是定义在R上的函数，若2)(xxf是奇函数，xxf2)(是偶函数，则)1(f的值为◆答案：74★解析：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1fff，1(1)2(1)2ff，两式相加消去(1)f，可知：12(1)32f，即7(1)4f.2016A3、正实数u，v，w均不等于1，若5loglogwvwvu，3loglogvuwv，则logwu的值为◆答案：54★解析：令avulog，bwvlog，则auv1log，bvw1log，abawvvvwvuuuloglogloglog条件化为5baba，311ba，由此可得45ab，因此54loglogloguvuvww．2016A10、（本题满分20分）已知)(xf是R上的奇函数，1)1(f，且对任意0x，均有)()1(xxfxxf。求)511()501()981()31()991()21()1001()1(ffffffff的值。★解析：设nnfan)(1(=1，2，3，…），则1)1(1fa．在)()1(xxfxxf中取*)(1Nkkx，注意到111111kkkxx，及)(xf为奇函数．可知)1(1)1(1)11(kfkkfkkf……………………5分即kaakk11，从而)!1(11111111nkaaaanknkkkn．……………………10分因此490501501101)!99(!1)!100()!1(1iiiiiiiiiaa!992221!991)(!991!991989949099999949099iiiiiCCC……………………20分2015A1、设a、b为两不相等的实数，若二次函数baxxxf2)(满足)()(bfaf，则)2(f的值为◆答案：4★解析：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22aba，即20ab，所以(2)424fab．2015A9、（本题满分16分）若实数cba,,满足cba242，cba424，求c的最小值。★解析：将2,2,2abc分别记为,,xyz，则,,0xyz．由条件知，222,xyzxyz，故2222224()2zyxzyzyzy．8分因此，结合平均值不等式可得，4223321111113(2)3222444yyzyyyyyyy．12分当212yy，即312y时，z的最小值为3324（此时相应的x值为3324，符合要求）．由于2logcz，故c的最小值32235log(2)log343．16分2016B4、已知)(xf,)(xg均为定义在R上的函数，)(xf的图像关于直线1x对称，)(xg的图像关于点)2,1(中心对称，且19)()(3xxgxfx，则)2()2(gf的值为◆答案：2016★解析：由条件知002,fg①22818190.fg②由,fxgx图像的对称性，可得02,024,ffgg结合①知，224002.fgfg③由②、③解得248,242,fg从而2248422016.fg另解：因为391xfxgxx，①所以2290.fg②因为fx的图像关于直线1x对称，所以2.fxfx③又因为gx的图像关于点1,2中心对称，所以函数12hxgx是奇函数，hxhx，1212gxgx，从而24.gxgx④将③、④代入①，再移项，得32295.xfxgxx⑤在⑤式中令0x，得226.fg⑥由②、⑥解得248,246.fg于是222016.fg2014A1、若正数a、b满足)(loglog2log2632baba，则ba11的值为◆答案：108★解析：设kbaba)(loglog3log2632，则22ka，33kb，kba6，从而10832326113232kkkabbaba。2015B1、已知函数),3(log]3,0[)(2xaxxaxfx，其中a为常数，如果)4()2(ff，则a的取值范围为◆答案：,2★解析：(2)2,(4)2fafa，所以22aa，解得：2a．2015B2、已知3)(xxfy为偶函数，且15)10(f，则)10(f的值为◆答案：2015★解析：由己知得33(10)(10)(10)10ff，即(10)(10)2000ff=2015．2014A3、若函数|1|)(2xaxxf在),0[上单调递增，则实数a的取值范围为◆答案：]0,2[★解析：在),1[上，aaxxxf2)(单调递增，等价于12a，即2a。在]1,0[上，aaxxxf2)(单调递增，等价于02a，即0a，因此实数a的取值范围是]0,2[2014B1、若函数)(xf的图像是由依次连接点)0,0(，)1,1(，)3,2(的折线，则)2(1f◆答案：23★解析：可求得直线2y与函数图像的交点为2,23，即223f，根据反函数的性质知23)2(1f。2014B8、设()(1)gxxx，是定义在区间[0,1]上的函数，则函数()yxgx的图像与x轴所围成图形的面积为◆答案：16★解析：显然)(xg的图像与x轴围成一个半圆，我们用A表示)(xxg与x轴围成的图形。直线12x是半圆的对称轴，它将A分成左右两个部分。我们知道：)()()1()()1()1()(xgxgxxxgxgxxxg（210x），这个式子的几何意义如下图所示：根据祖暅原理的二维形式，A的左半部分与右半部分的面积之和恰好是四分之