欧拉积分及其应用

欧拉积分及其应用摘要：本文阐述了欧拉积分的定义，重点论述Gamma函数和Bate函数的性质及其在求定积分时的应用。对r函数与B函数的关系式的证明提出简便的方法，最后推出1()rm的计算表达式，及r(x)新的表示式，从而得到余元公式新的证明方法。使得对欧拉积分知识有了更深的认识，为定积分的求解提供了新的方法及思路，提高解题能力。关键词：含参变量积分；Gamma函数；Bate函数；余元公式1、知识预备1.1、(Bohr-Mollerup定理)如果定义于（0，+）的函数f（x）满足以下条件：（1）f(x)0x（0，+）f(1)=1；（2）(1)()fxxfxx（0，+）（3）ln()fx为凸函数，那么必有f(x)=r(x)x（0，+）。1.2、对于p不是整数时22112(1)sinnnppppn1.3、对于0p1时，1220112(1)1pnnypdyyppn1.4、瓦里斯公式：(23)!!2lim21(22)!!nnnn1.5、对于(0,1]x，我们有221sin(1)nxxxn2、欧拉积分2.1、定义含参变量的广义积分+s-1-x0()xedxrss0(1)1p-1q-10(,)x(1-x)dxBpqp0,q0(2)它们统称欧拉积分，其中前者又称格马Gamma函数（r函数），后者称贝塔Bate函数（B函数）。（即r函数与B函数实际上是含参变量非正常积分表示的两个特殊函数）2.2、性质2.2.1、r函数的性质（1）r(s)在定义域时连续，且具有各阶连续导数2（2）递推公式(1)()rssrs(s0)如果s取整数n，那么有(1)()!rnnrnn（3）延拓后r(s)的函数在0,1,2,3s……外均收敛（4）根据sss1及ss0lim=，sslim=可得到图像：（5）函数的其他形式ａ）当xpy(p0),则有r(s)=+s-1-x0xedx=+s-1-0()edxpypy=+s-1-0edxpypy（s0,p0）ｂ）当2xy,则有r(s)=+s-1-x0xedx=22(-1)0dxsyye=22-102dxsyye2.2.2、B函数的性质（1）(,)Bpq在p0,q0内连续（2）对称性：(,)(,)BpqBqp（3）1(,)(,1)1qBpqBpqpq(p0,q1)1(,)(1,)1pBpqBpqpq(p1,q0)(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)qpBpqBpqpqpq(p1,q1)（4）B函数的其他形式ａ）在（2）式中，令2cosx，3则有212120(,)2cosqpBpqsindｂ）在（2）式中，令1yxy(y0)，于是有10(,)(1)ppqyBpqdyydyyydyyydyyyqppqppqpp1110101)1()1()1(再对第二个式子令1yt，整理得：dtttdyyydyyyqpqqppqpp1110101)1()1()1(所以1110(,)(1)pqpqyyBpqdyy（p0,q0）2.3、B函数与r函数联系()()(,)()rprqBpqrpqp0,q0证明：对于任意取定的q0，我们考察这样的一个函数()(,)()()rpqBpqfprq，以下证明该函数满足预备知识中定理的三个条件：（1）显然有f(p)0p（0，+），并且1()(1)(1,)(1)1()()qrqrqBqqfrqrq（2）()()(,)(1)(1,)(1)()()()ppqrpqBpqrpqBpqpqfppfprqrq（3）对于任意的q0，因为ln()rpq和ln(,)Bpq)都是变元x的凸函数，所以ln()ln()ln(,)ln()fprpqBpqrq也是变元x的凸函数。这样我们就证明了f(p)=r(p)43、有关欧拉公式的证明3.1、证明余元公式r(s)r(1-s)=sin()s注：余元公式的证明有很多方法，下面我就介绍一个比较简单的方法。证明：因()()(,)()rprqBpqrpqp0,q0;令q=1-p，则有r(p)r(1-p)=B(p.1-p)=110(1)dxppxx再令1yxy，则111xy，2dx(1)dyy那么上式可化成p-11+p-1-p22001y12x(1-x)dx=dy(1)x+ynnpppn（预备知识3），由预备知识2得r(p)r(1-p)=22112(1)sin()nnpppnp即r(s)r(1-s)=sin()s3.2、证明1(21)!!()22nnrn证：由r函数的性质（2）得1212121()()()2222nnnrnrr(21)(23)311(21)!!()222nnnnnr其中1()2r同理我们利用(1)()rsrss得到1(1)2()2(21)!!nnrnn（证明略）4、欧拉积分的应用4.1、通过对式子的变形将积分变成欧拉积分的形式，再利用欧拉积分的有关5性质，计算出积分的值。例题1求积分1301(ln)dxx解：令1lnyx，则yxe，ydxedy103301(ln)(1)ydxyedyx30(4)3!6yyedyr其实101(ln)(1)!ndxrnnx例题2求积分120xxdx解：111122200(1)xxdxxxdx33()()3322(,)22(3)rrBr21()22!8例题3求积分620sinxdx解：11116625222220001sin(1)(1)2xdxyydyyydy171(,)222B当然，此题也可以根据B函数的性质（4）212120(,)2cosqpBpqsind得到620117sin(,)222xdxB例题4求积分21401xdxx解：112211444234001()(1)41xdxxxdxxx631()()131142(,)54424()4rrBr4.2、形如0()()PxdxQx定积分的计算例题1对积分5011dxx求值。解：令511tx，则1111551(1)5dxtt，由定义及余元公式得11115550011(1)15dxttdtx141141(,)()()555555Brr15sin()5其实对于例题1我们更有一般方法例题2计算011ndxx解：令11ntx，则11111(1)nndxttn11110011(1)1nnndxttdtxn1111111(1,).(1)().sinBrrnnnnnnnn例题3计算424(32)xdxx解：由于被积函数是偶函数，所以744242402(32)(32)xxdxdxxx4024138(1)2xdxx令232tx，则12223dxtdt，将其代入上式，得令11yz则2dzydy所以34224401(32)(1)186xtdxdtxt1312201135(1)(,)22186186zzdzB4.3、形如(sin)(cos)PxQxdx的定积分计算例题1计算01cossin(1cos)xdxxkx（0k1）分析：这道题目被积函数形式复杂，若变换技巧使用不当，导致计算过程极为复杂，甚至无从下手。但用欧拉积分的方法就变得简便了。解：令1tan21tkk，则有1tantan212xktk。利用三角恒等式可得2cos1cos,1cos,1cos1costkkxkxktkt211coskdxdtkt将其代入原式，得01cos1sin1cosxdxxkx822011cos1cot1211cosktktkdtkkkt111422304(1)sincos22(1)kttdtk11142223042(1)sincos(1)kttdtk14342(1)113(,)244(1)kBk例题2、计算03cosdxx的值解：令21cossin2xtx，则142arcsinxt，3114221(1)2dxttdt于是31142001111(1)(,)423cos2222dxttdtBx例题3、化简20(tan)(||)1)xdx分析：利用欧拉积分进行积分化简是一种简便方式。解：2200(tan)(sin)(cos)xdxxxdx1111(,)12222sin2B12cos2注：本题中我们应用20111sincos(,)222mnmnxxdxB，需牢记94.4、形如2()xPxedx的计算说明：在概率与数理统计中应用。1）求20xedx的值分析：我们易看出它与r函数很相似，所以令2xt，则问题得到解决。解：令2yx，则11221,2xydxydy，所以有21200111()222xyedxeydyr12其实此题也可以利用余元公式()(1)(01)sinrprppp21()2r1()2r即120ttedt令2xt则202xedx在数理统计中我们经常遇见求0limnxnedx的值其实1100111()nxtnedxetdtrnnn1(1)(1)1()rrnn此时应用了r(s)在定义域联系这一性质。同理可求积分222100()2nnnxnxxxedxxed111(21)!!()222nnrn105、Gamma函数的推广本文中的一些结果是我在多方查资料中获得的，对欧拉积分性质的研究有重要意义，所以我将其载录下来。对欧拉积分中的一些问题的证明有新的思路：5.1、Gamma函数的另一表示式!()lim(1)(2)()xnnnrxxxxxn。预备知识中提到ln()fx为凸函数，而凸函数的定义知它的一阶导数是单调递增。令()ln()fxrx,因为(1)()!rnnrnn，所以(1)ln(!)fnrn(1)()(1)()rxnxnxrx,(1)ln[()(1)]()fxnxnxfx因为f(x)凸函数，所以对于(0,1]x应有(1)()(1)(1)(2)(1)(1)(1)(1)(2)(1)fnfnfnxfnfnfnnnnxnnn也就是(1)ln[!]ln[!]ln[(1)!]ln[(1)!]ln[!]fnxnnnnnx即(1)ln[!]lnln(1)fnxnnnx因此得到由（1）(2)式得!(1)!ln()ln(1)()(1)()xxnnnnfxxxxnxxxn由此得到!(1)!!10()lnlnlnln(1)(1)()(1)()(1)()xxxnnnnnnfxxxxxnxxxnxxxnn我们就证明了!()limln(1)()xnnnfxxxxn即!()li