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圆锥曲线与方程知识点汇总§2.1椭圆1、椭圆的定义:1F2FM平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。cFF221为椭圆时,022ca2aMFMF21椭圆形成演示椭圆定义.gsp满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆?(1)平面上----这是大前提(2)动点M到两个定点F1、F2的距离之和是常数2a(3)常数2a要大于焦距2c1222MFMFac42222+=10xyabab2222+=10xyabba分母哪个大,焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹12-,0,0,FcFc120,-0,,FcFc标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系xyF1F2POxyF1F2POa2-c2=b2求椭圆的标准方程(1)首先要判断类型,(2)用待定系数法求ba,a2=b2+c2典例分析例1.椭圆的两个焦点的坐标分别是(-4,0)(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10,求椭圆的标准方程。12yoFFMx.解:∵椭圆的焦点在x轴上∴设它的标准方程为:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2-c2=52-42=9∴所求椭圆的标准方程为)0(12222babyax192522yx例2. 已知椭圆的两个焦点坐标分别为(-2,0),53(2,0)并且经过点(,-),求它的标准方程.222222解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为xy+=1(ab0).ab2222222由椭圆的定义知53532a=+2+-+-2+-=2102222所以a=10.又因为c=2,所以b=a-c=10-4=6.2222因此,所求椭圆的标准方程为xy+=1.106111变式引申:求焦点在y轴上,且经过点A(,)、B(0,-)的332椭圆的标准方程.222222yx解:设所求椭圆的方程为+=1,ab111将A(,),B(0,-)代入得:332221133+=122ab,21-2=12a12a=,4解得:12b=.5yx故所求椭圆的标准方程为+=1.1145?思考一个问题:把“焦点在y轴上”这句话去掉,怎么办?定义法:如果所给几何条件正好符合某一特定的曲线(圆,椭圆等)的定义,则可直接利用定义写出动点的轨迹方程.待定系数法:所求曲线方程的类型已知,则可以设出所求曲线的方程,然后根据条件求出系数.用待定系数法求椭圆方程时,要“先定型,再定量”.~求曲线方程的方法:标准方程图象范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyababceac2=a2-b222221(0)xyabba-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a对称轴为x轴、y轴;对称中心为原点(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(c,0)、(-c,0)(0,c)、(0,-c)长轴长为2a,短轴长为2b.焦距为2c(0e1)2、椭圆的简单几何性质:xyF1F2POxyF1F2PO椭圆离心率的取值范围?离心率变化对椭圆的扁平程度有什么影响?e∈(0,1).e越接近于0,椭圆越圆;e越接近于1,椭圆越扁.§2.2双曲线①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.(1)2a2c;oF2F1M平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.(2)2a0;思考:(1)若2a=2c,则轨迹是什么?(2)若2a2c,则轨迹是什么?说明(3)若2a=0,则轨迹是什么?||MF1|-|MF2||=2a(1)两条射线(2)不表示任何轨迹(3)线段F1F2的垂直平分线1、双曲线的定义:看前的系数,哪一个为正,则在哪一个轴上平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.12-,0,0,FcFc120,-0,,FcFc标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxababc2=a2+b222,yxF2F1MxOyOMF2F1xy解:∴126PFPF∵焦点为12(5,0),(5,0)FF∴可设所求方程为:22221xyab(a0,b0).∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.所以点P的轨迹方程为221916xy.∵1210FF6,由双曲线的定义可知,点P的轨迹是一条双曲线,典例分析(参考课本P58例)已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足126PFPF,求动点P的轨迹方程.17xyoax或axayay或)0,(a),0(axabyxbayace)(222bac其中关于坐标轴和原点都对称性质双曲线)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay范围对称性顶点渐近线离心率图象2、双曲线的简单几何性质:18例1求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.可得实半轴长a=4,虚半轴长b=3焦点坐标为(0,-5)、(0,5)45ace离心率xy34线方程为渐近解:把方程化为标准方程221169yx19例2.4516线和焦点坐标程,并且求出它的渐近出双曲线的方轴上,中心在原点,写焦点在,,离心率离是已知双曲线顶点间的距xe思考:一个双曲线的渐近线的方程为:,它的离心率为.xy435543或xy43渐近线方程为)0,10(),0,10(21FF焦点1366422yx解:定义方程焦点a.b.c的关系F(±c,0)F(±c,0)a0,b0,但a不一定大于b,c2=a2+b23.双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|-|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F(0,±c)F(0,±c)22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxababab0,c2=a2-b221渐近线离心率顶点对称性范围准线|x|a,|y|≤b|x|≥a,yR对称轴:x轴,y轴对称中心:原点对称轴:x轴,y轴对称中心:原点(-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)长轴:2a短轴:2b(-a,0)(a,0)实轴:2a虚轴:2be=ac(0<e<1)ace=(e1)无y=abx±cax2§2.3抛物线CM·Fl·e=1H在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线d为M到l的距离准线焦点d即:若1MFd,则点M的轨迹是抛物线.1、抛物线的定义:0p是焦准距22ypx--抛物线标准方程y2=-2px(p0)x2=2py(p0)准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=2px(p0))0,2p(2px)0,2p(2px)2p0(,2pyx2=-2py(p0))2p0(,2pyP的意义:抛物线的焦点到准线的距离方程的特点:(1)左边是二次式,(2)右边是一次式;决定了焦点的位置.四种抛物线的对比典例分析(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标及准线方程(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求抛物线的标准方程(3)已知抛物线的准线方程为x=1,求抛物线的标准方程(4)求过点A(3,2)的抛物线的标准方程焦点F(,0)32准线:x=-32x2=-8yy2=-4xy2=x或x2=y4392看图看图看图方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称(0,0)e=12、抛物线的简单几何性质:补充(1)通径:通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度:2PP越大,开口越开阔(2)焦半径:连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式:),(00yx(标准方程中2p的几何意义)利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。基本点:顶点,焦点基本线:准线,对称轴基本量:P(决定抛物线开口大小)XY抛物线的基本元素y2=2px特点1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔4321-1-2-3-4-5-2246810y2=xy2=xy2=2xy2=4x21图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0))0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1变式:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2,)的抛物线有几条,求它的标准方程.22典型例题:例1.已知抛物线关于x轴对称,顶点在坐标原点,并且过点M(2,),求它的标准方程.22当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论)0(2),22,2(2PPxyMx程为所以,可设它的标准方点点,并且经过轴对称,它的顶点在原解:因为抛物线关于222)22(2pPM,即在抛物线上,所以因为点xy42准方程是因此,所求抛物线的标例2斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.解这题,你有什么方法呢?法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.还有没有其他方法?法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.xyOFABB’A’224,(1)4,yxxx代入方程得.0162xx化简得84)(216212212121xxxxABxxxx。的长是所以,线段8AB例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1
本文标题:圆锥曲线知识点汇总--ppt课件
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