自动控制原理-胡寿松第七章

成都信息工程学院控制工程系1第七章线性离散系统的分析与校正本章主要内容1、离散系统的基本概念2、信号的采样与保持3、Z变换理论4、离散系统的数学模型5、离散系统的稳定性与稳态误差6、离散系统的动态性能分析7、数字控制系统的校正设计成都信息工程学院控制工程系2第七章线性离散系统的分析与校正第一节离散系统的基本概念控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，这些信号仅定义在离散时间上，这类系统称为离散时间系统，简称离散系统。2）数字控制系统或计算机控制系统:信号是数字序列（时间上离散、幅值上离散）两类离散系统：1）采样控制系统或脉冲控制系统:信号是脉冲序列（时间上离散）成都信息工程学院控制工程系3第七章线性离散系统的分析与校正时间上幅值上都连续的信号称为模拟信号。时间上离散而幅值连续的信号称为离散模拟信号或脉冲序列。时间上幅值上都离散的信号称为数字信号。1、采样控制系统成都信息工程学院控制工程系4第七章线性离散系统的分析与校正把连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样过程，简称采样，实现采样的装置称为采样器或采样开关。采样器可以用一个周期性闭合的开关来表示，其闭合周期为T，每次闭合时间为h。h通常远小于采样周期T，因此，可近似认为h趋近于0。成都信息工程学院控制工程系5第七章线性离散系统的分析与校正把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现过程，实现复现的装置称为保持器。)(*teT0)(te保持器成都信息工程学院控制工程系6第七章线性离散系统的分析与校正2、数字控制系统A/D转换器：把连续模拟信号转换为离散数字信号的装置。包含两个过程：采样和量化成都信息工程学院控制工程系7第七章线性离散系统的分析与校正采样量化编码1010111…成都信息工程学院控制工程系8第七章线性离散系统的分析与校正量化是把离散信号表示成最小位二进制的整数倍，也称编码过程。D/A转换器：把离散数字信号转换为连续模拟信号的装置。也包含两个过程：解码和复现一般要求A/D转换器要有足够的字长和足够小的量化单位。解码是把离散数字信号转换为离散模拟信号。复现是将离散模拟信号转换为连续模拟信号。成都信息工程学院控制工程系9第七章线性离散系统的分析与校正1010111…解码复现成都信息工程学院控制工程系10第七章线性离散系统的分析与校正3、离散控制系统的特点1）数字控制系统的控制算法易于实现和复用，数字传感器提高了测量的灵敏度。2）数字信号的传递可以有效的抑制噪声，提高了系统的抗干扰能力。4、离散系统的研究方法采用Z变换法建立离散系统的数学模型，类比连续系统的许多方法，如：稳定性分析、稳态误差计算、时间响应分析及系统校正方法等，经过适当改变后应用于离散系统。成都信息工程学院控制工程系11第七章线性离散系统的分析与校正第二节信号的采样与保持1、采样过程和离散信号的数学表达式)(*teT0)(teST0)()(nTnTtt理想采样开关S：采样器可以用一个周期性闭合的采样开关S来表示。成都信息工程学院控制工程系12第七章线性离散系统的分析与校正理想单位脉冲序列采样过程可以看成是一个幅值调制过程。成都信息工程学院控制工程系13第七章线性离散系统的分析与校正×调制成都信息工程学院控制工程系14第七章线性离散系统的分析与校正00*)()()()()()()(nnTnTtnTenTttettete采样信号e*(t)的数学表达式：采样信号e*(t)的拉氏变换式：)]([)(**teLsE0)]([)(nnTtLnTe0)]()([nnTtnTeL0)(nnTsenTe成都信息工程学院控制工程系15第七章线性离散系统的分析与校正采样信号e*(t)的拉氏变换式是s的超越函数，不便于进行研究，通常采用z变换代替拉氏变换，把离散系统的s超越方程变换为z的代数方程。采样信号e*(t)的频谱：的付氏级数形式：)t(TT1dte)t(T1CT2eC)nT-t()t(T/2T/2tjnTns-ntjnn-nTss，其中：成都信息工程学院控制工程系16第七章线性离散系统的分析与校正-ntjnTseT1)t(nTtettetetjn*se)(T1)()()(代入采样信号表达式：对采样信号表达式取拉氏变换：n)jns(ET1)s(Es*采样信号的付氏变换：])n(E[jT1)j(Es*n成都信息工程学院控制工程系17第七章线性离散系统的分析与校正成都信息工程学院控制工程系18第七章线性离散系统的分析与校正2、香农采样定理如果采样器的输入信号e(t)具有有限带宽，最高频率为ωh，则使信号e(t)完满地从采样信号e*(t)中恢复过来的条件是：hshs2,2一般取：或hT22连续信号e(t)的频谱是单一连续频谱，而采样信号e*(t)的频谱是以采样角频率ωs为周期的无穷多个频谱之和。成都信息工程学院控制工程系19第七章线性离散系统的分析与校正香农采样定理给出了采样周期（或频率）选择的基本原则。采样周期选得越小，控制效果越好，但增加了计算成本，难以实现复杂控制规律。采样周期选得过大，会降低系统的动态性能，甚至可能导致系统失稳。一般工程实际中取：hs)10~5(3、信号保持保持器是把数字信号转换为连续信号，从数学上来说，保持器的任务是解决采样点之间的插值问题。成都信息工程学院控制工程系20第七章线性离散系统的分析与校正保持器是具有外推功能的元件，通常采用多项式外推公式描述保持器：称为m阶保持器。工程上常用零阶保持器。零阶保持器：e(nT)aΔt)e(nT0零阶保持器是一种按常值外推的保持器。保持器的数学描述m2210)t(...)t(DDmaaΔtaaΔt)e(nT成都信息工程学院控制工程系21第七章线性离散系统的分析与校正零阶保持器的输出特性成都信息工程学院控制工程系22第七章线性离散系统的分析与校正sesGTsh1)(为：零阶保持器的传递函数)/()/()/(sin2sjsssej1)j(jTheG为：零阶保持器的频率特性ss3s2)(jGhT)(jGh成都信息工程学院控制工程系23第七章线性离散系统的分析与校正（3）时间滞后，平均迟后时间T/2零阶保持器的特性：（1）低通（2）相角滞后工程中，零阶保持器可以用输出寄存器来实现，实现非常简单。成都信息工程学院控制工程系24第七章线性离散系统的分析与校正第三节z变换理论)](e[)z(E,z)(eE(z)**tZt记为变换的即为脉冲序列e(nT)zE(z)0nn-z变换的定义：z变换只适用于离散函数，或者说只能表征连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其在采样时刻之间的特性。z变换实际上是采样函数拉氏变换的变形，因此又称为采样拉氏变换一、Z变换的定义成都信息工程学院控制工程系25第七章线性离散系统的分析与校正成都信息工程学院控制工程系26第七章线性离散系统的分析与校正二、Z变换的性质1、线性定理(z)E(z)E(t)]e(t)Z[eE(z)e(t)][2121aaZ齐次性叠加性2、实数位移定理E(z)zkT)]-Z[e(t-k]z)e(nT-E(z)[z)]T(e[1-k0nn-kktZ成都信息工程学院控制工程系27第七章线性离散系统的分析与校正实数位移定理相当于s变换中的微分和积分定理，应用它可将描述离散系统的差分方程转化为z域的代数方程。3、终值定理)](E)1[(lim)nT(elim1nzzz与连续系统相类似，在离散系统分析中，常用终值定理求取系统输出序列的稳态误差。成都信息工程学院控制工程系28第七章线性离散系统的分析与校正三、求Z变换的方法部分分式法：先求出已知连续函数的拉氏变换，然后将其展开成部分分式的形式，使每一部分分式对应简单的时间函数，其相应的z变换是已知的，于是可方便求出整个函数的z变换。例.已知连续函数e(t)的拉氏变换为：a)s(sa试求相应的Z变换。成都信息工程学院控制工程系29第七章线性离散系统的分析与校正Tezz)1(1zz)1(ZaasZs解将E(s)展成部分分式形式：ass11)s(E查表得：所以：)e1)(z-zezzezz1zz)z(ETTTaaa（）（成都信息工程学院控制工程系30第七章线性离散系统的分析与校正第四节离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。n阶后向差分方程为：1、差分方程模型）（）（）（）（）（）（）（mkxmbkxbkxbnkynakyakyaky1102211成都信息工程学院控制工程系31第七章线性离散系统的分析与校正2、差分方程求解常用方法有迭代法和z变换法。1)迭代法:如果已知输出序列的初值，则利用递推关系可以一步一步算出输出序列。n阶前向差分方程为：)()1()1m()m()(c)1(c)1n(c)n(c11011krbkrbkrbkrbkakakakmmnn成都信息工程学院控制工程系32第七章线性离散系统的分析与校正例已知差分方程y(k)=x(k)+5y(k－1)－6y(k－2)输入序列x(k)=1，初始条件为y(0)=0,y(1)=1，试用迭代法求出输出序列y(k)，k=0，1，2，···，10。解：根据初始条件及递推关系，得y(0)=0y(1)=1y(2)=x(2)+5y(1)-6y(0)=6y(3)=x(3)+5y(2)-6y(1)=25……y(10)=x(10)+5y(9)-6y(8)=86526成都信息工程学院控制工程系33第七章线性离散系统的分析与校正2）Z变换法：利用z变换的实数位移定理，将差分方程化为以z为变量的代数方程，然后进行z反变换，求出各采样时刻的响应。①对差分方程进行z变换；②解出方程中输出量的z变换Y(z)；③求Y(z)的z反变换，得差分方程的解y(k)。Z变换法的具体步骤是：成都信息工程学院控制工程系34第七章线性离散系统的分析与校正差分方程的解可以提供系统在给定输入作用下的输出响应，但不便于研究系统参数变化对系统性能的影响，因此引入另一种数学模型：脉冲传递函数。3脉冲传递函数（z传递函数）1）脉冲传递函数的定义在零初始条件下，线性定常离散系统的离散输出信号z变换与离散输入信号z变换之比，称为该系统的脉冲传递函数（或z传递函数）。成都信息工程学院控制工程系35第七章线性离散系统的分析与校正）（）（）（zXzYzG注意，多数实际采样系统的输出信号是连续信号，在这种情况下，可以在输出端虚设一个采样开关，并设它与输入采样开关以相同的采样周期T同步工作。这样就可以采用脉冲传递函数的概念。2)脉冲传递函数的求法⑴由定义求取；⑵由G(s)求取；⑶由离散系统结构图求取。成都信息工程学院控制工程系36第七章线性离散系统的分析与校正例：求下列差分方程所示系统的脉冲传递函数。])[()(TknrnTc解：取Z变换并由位移定理得：kkGRCz)z()z(z)z(例：已知开环传函，求G(z)。)()(assasGassassasG11)()(解：成都信息工程学院控制工程系37第七章线性离散系统的分析与校正)z)(1z()1(zzz1zz]11[)z(aTaTaTeeeassZG由离散系统结构图求取脉冲传递函数：求传递函数的方法与连续系统不完全相同，还与采样开关的位置和数量有关。成都信息工程学院控制工程系38第七章线性离散系统的分析与校正2、串联环节的开环系统脉冲传递函数串联形式1：串联环节之间有采样开关G2(s))(2zG)(tc)(*tc)z(C)z(DG1(s))(1zG)(tr)(td)(*tr)(*td)z(R)z(G成都信息