【优化方案】第一课时一元二次不等式及其解法

3．3一元二次不等式及其解法1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、二次方程的联系．2．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3．重点是解一元二次不等式．4．难点是设计求解一元二次不等式的程序框图．学习目标第一课时课堂互动讲练知能优化训练第一课时课前自主学案课前自主学案温故夯基1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点即相应一元二次方程____________________的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，开口_________，a＜0时，开口_________，若b2－4ac＞0，则与x轴有_________交点；若b2－4ac＝0，则与x轴有_______交点；若b2－4ac＜0，与x轴________交点．ax2＋bx＋c＝0向上向下两个一个无知新益能1．一元二次不等式把含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，称为一元二次不等式．思考感悟不等式mx2＋x＋1＜0(m为常数)是一元二次不等式吗？提示：当m＝0时为一无一次不等式；当m≠0时为一元二次不等式．2．一元二次方程，二次函数和一元二次不等式的关系Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个不相等的实数根(x1x2)有两个相等的实数根(x1＝x2)_____________ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx2或xx1}_____________Rax2＋bx＋c0(a0)的解集_____________________∅无实数根{x|x≠x1}{x|x1xx2}∅3.ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件a0______.4．ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件a0_____.Δ0Δ0课堂互动讲练不含参数的一元二次不等式的解法例1解不等式：(1)x2－8x＋150；(2)－x2－2x－3.【分析】由题目可获取以下主要信息：(1)是标准的一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的求解问题；(2)不是标准形式．解答本题(1)可根据二次函数、二次方程和二次不等式的关系求解，也可以利用二次函数图象求解，还可以对不等式左边进行因式分解，转化为一元一次不等式组求解；(2)可先化成ax2＋bx＋c0(a0)的形式再求解．【解】(1)法一：由方程x2－8x＋15＝0的判别式Δ＝(－8)2－4×15＝40，得方程两根分别为x1＝3，x2＝5.∴原不等式的解集是{x|x3或x5}．法二：作函数y＝x2－8x＋15的图象，如图所示．由图可知y＝x2－8x＋15的图象在x轴上方(即函数值大于零)的点的横坐标的取值范围是x3或x5.故原不等式的解集为{x|x3或x5}．法三：原不等式可化为(x－3)(x－5)0，即x－50x－30或x－50x－30，解得x3或x5.故原不等式的解集为{x|x3或x5}．(2)原不等式可化为x2＋2x－30.法一：由方程x2＋2x－3＝0的判别式Δ＝22－4×(－3)＝16，得方程两根分别为x1＝－3，x2＝1.∴原不等式的解集为{x|－3x1}．法二：不等式x2＋2x－30可化为(x＋3)(x－1)0.∴x＋30x－10或x＋30x－10，解得－3x1或x∈∅.∴原不等式的解集为{x|－3x1}．【点评】首先判断判别式的符号，求根，然后根据不等号的方向及首项系数的符号写出解集，这是解一元二次不等式的基本方法，应当熟练掌握．自我挑战1解下列一元二次不等式：(1)2x2＋7x＋40；(2)3x2＋2x2－3x；(3)－2x2＋x＋10；(4)9x2－6x＋10；(5)x2－4x＋80.解：(1)因为Δ＝72－4×2×4＝170，所以方程2x2＋7x＋4＝0有两个实数根：x1＝－7－174，x2＝－7＋174.画出二次函数y＝2x2＋7x＋4的图象如图1所示，由图象得原不等式的解集为x|x－7＋174或x－7－174(2)原不等式移项整理，得3x2＋5x－20.因为Δ＝490，所以方程3x2＋5x－2＝0有两个实数根，即x1＝－2，x2＝13.画出函数y＝3x2＋5x－2的图象如图2所示，由图象得原不等式的解集为{x|x－2或x13}．(3)法一：因为Δ＝90，方程－2x2＋x＋1＝0的两个根为x1＝－12，x2＝1.函数y＝－2x2＋x＋1的图象是开口向下的抛物线(如图3)，与x轴交于点(－12，0)和(1,0)．观察图象得不等式的解集为{x|x－12或x1}．法二：不等式两边同乘以－1，可得2x2－x－10.方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－12，x2＝1，函数y＝2x2－x－1的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集为{x|x－12或x1}．(4)因为Δ＝0，方程9x2－6x＋1＝0有两个相等的实数根：x1＝x2＝13.函数y＝9x2－6x＋1的图象是开口向上的抛物线(如图4)，与x轴仅有一个交点(13，0)．由图象可得不等式的解集为{x|x∈R且x≠13}．(5)因为Δ＝16－32＝－160，所以方程x2－4x＋8＝0无实数根，函数y＝x2－4x＋8的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点，所以不等式的解集为∅.一元二次不等式与相应一元二次方程的关系例2已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．【分析】由条件知a＜0，α、β为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，利用根与系数的关系找出a、b、c与α、β的关系，再利用此关系解不等式．【解】由ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，知a＜0，α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴α＋β＝－ba，αβ＝ca，∴b＝－a(α＋β)，c＝aαβ，∴不等式变为aαβx2－a(α＋β)x＋a＜0，又∵a＜0，∴αβx2－(α＋β)x＋1＞0，变形式(αx－1)(βx－1)＞0∵0＜α＜β，∴1α＞1β.∴不等式的解集为{x|x＞1α或x＜1β}【点评】在解不等式时要注意数形结合，特别是一元二次不等式与二次函数图象和一元二次方程之间的关系．自我挑战2设a∈R，若关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两个实数根x1，x2，且0x11x22，求a的取值范围．解：设f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2.∵x1，x2是方程f(x)＝0的两根，且0x11x22，∴f00，f10，f20，∴a2－a－20，7－a＋13＋a2－a－20，28－2a＋13＋a2－a－20，即a2－a－20，a2－2a－80，a2－3a0，解得－2a－1或3a4.∴a的取值范围是{a|－2a－1或3a4}．已知二次函数f(x)的二次项系数为a,不等式f(x)－2x的解集为(1,3)．(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．【分析】f(x)－2x的解集为(1,3)，即f(x)＝－2x的两根一根为1，一根为3，方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，则Δ＝0.例3【解】(1)∵f(x)＋2x0的解集为(1,3)，设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)且a0，∴f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②∵方程②有两个相等的根，∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0.即5a2－4a－1＝0.解得a＝1或a＝－15.由于a0，舍去a＝1，将a＝－15代入①，得f(x)的解析式f(x)＝－15x2－65x－35.(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a(x－1＋2aa)2－a2＋4a＋1a.又a0，可得f(x)的最大值为－a2＋4a＋1a.由－a2＋4a＋1a0a0，解得a－2－3或－2＋3a0.故当f(x)的最大值是正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．【点评】一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的关系一直是高考的重点，并且年年考查，常考常新．解决这类问题，要以函数观点作指导，用函数图象来沟通．自我挑战3如果不等式ax2＋bx＋c0的解集是{x|xm或xn}(mn0)，求关于x的不等式cx2－bx＋a0的解集．解：∵ax2＋bx＋c0的解集是{x|xm或xn}(mn0)，∴a0且有m＋n＝－ba0，m·n＝ca0.∴c0.又∵－1m＋－1n＝bc，－1m·－1n＝ac.∴－1m、－1n是cx2－bx＋a＝0的两根．又∵mn0，∴－1m－1n，∴不等式解集为－1m，－1n.数轴标根法解高次或分式不等式例4解不等式2x3－x2－15x＞0.【分析】将原不等式因式分解，再用“穿根法”．【解】原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x－3)＝0的三个根x1＝0，x2＝－52，x3＝3顺次标在数轴上，然后从右上方开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图阴影部分．∴原不等式的解集为{x|－52＜x＜0或x＞3}．【点评】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根，注意“奇穿偶不穿”的原则．自我挑战4解不等式：x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.解：令y＝x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)．各因式的根分别为0,1，－1，－2，其中1为二重根，－1为三重根(1为偶次根，－1为奇次根)，结合图，可得不等式解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．