随机变量的数字特征

第5章随机变量的数字特征5.1数学期望5.2方差与标准差5.3协方差与相关系数*5.4矩*5.5条件数学期望(条件均值)随机变量的数字特征是能够描述随机变量基本面貌和代表随机变量主要特征的数字。5.1数学期望5.1.1随机变量的数学期望随机变量的数学期望是随机变量所有取值的加权平均值，也简称为均值。1.离散型随机变量的数学期望定义1若离散型随机变量X的概率分布律是P(xi)=P{X=xi}=pi(i=1,2,3,…)且级数绝对收敛()，则称此级数为X的数学期望(或均值)，记为EX。即iiixpiiiEXxpkkkxpiiixp说明：离散型随机变量的数学期望等于随机变量的各个取值与对应概率的乘积之和。均值与X的取值x1,…xn,…的排列次序无关，故要求绝对收敛，若此级数不绝对收敛，则称EX不存在。iiixp例1甲、乙两射手的稳定成绩分别为试比较甲、乙两射手孰优孰劣。解：甲的平均环数乙的平均环数故可认为甲略优于乙。上述算法明确体现了加权平均的思想：若变量X取值xi的概率p(xi)较大，则这个xi就对平均数的影响较大(或贡献较大)。概率p(xi)具有权衡xi地位轻重的作用，称为权重系数。加权平均的思想不同于算术平均的思想。随机变量的数学期望代表了随机变量取值的集中位置。X(甲环数)8910概率0.30.10.6Y(乙环数)8910概率0.20.40.4EX80.390.1100.69.3EY80.290.4100.49.2例2若X服从二项分布B(n,p)，求EX。解该结果说明：具有概率p的事件A在n重伯努利试验中平均出现np次。nnkknkkknknnk0k1nnknkk1nkk1k1n1n1in1iiin1in1ik1i0i0n1EXkCpqkCpqn!(n1)!kpqnppqk!(nk)!(k1)!(nk)!(n1)!nppqnpCpqi!(n1i)!np(pq)np例3若X服从泊松分布P()，求EX。解X服从泊松分布时，EX=λ说明事件A在一个n重伯努利试验试验中平均出现λ次。kkkkk0k0k1kk1k1k1iik1i0EXxpkekek!k!ee(k1)!(k1)!eeei!例4几何分布的期望若P(X=k)=pqk-1(k=1,2,…)，则。证明例5若X取值对应的概率值为讨论其EX存在与否。解1EXpkkk2x(1),k1,2,3,kkkk1P(Xx)p,k1,2,3,2kkk1k1kkkk1k11|x|pEXk(1)111xp(1)ln2k234EX，该级数发散，故不存在。虽然，收敛，但不存在。k12k111EXkqppp1q例6设想这样一种博彩游戏，博彩者将本金1元压注在1到6的某个数字上，然后掷三颗骰子，若所压的数字出现i次(i=1,2,3)次，则下注者赢i元，否则没收1元本金，试问这样的游戏规则对下注者是否公平？解设下注者的每1元注金带来的盈利是个随机变量X。X的一切可能值为：-1,1,2,3可以用考察EX是否等于零来评价这一游戏规则对下注者是否有利。设掷3颗骰子，恰好出现所压的数字的次数为Y，则Y～B(3,1/6)k3kk315P(Yk)Ck0,1,2,366而Y=0时,X=-1;Y=1时,X=1;Y=2时,X=2;Y=3时,X=3；所以，X的分布律为由于平均赢利小于0，故这一游戏规则对下注者是不利的(每平均玩216次，下注者将输17元)。0312213001233333112315151515CCCC666666661123125751512162162162161257515117EX1123216216216216216即离散型随机变量函数的数学期望一维离散型随机变量函数的数学期望设X是离散型随机变量，Y=f(X)是X的函数。X的分布律是：P(X=xi)=pii=1,2,3,…若绝对收敛()，则函数f(X)的数学期望存在，记为Ef(X)，且有二维离散型随机变量函数的数学期望设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,…)如果收敛，则g(X,Y)的数学期望存在，记为Eg(X,Y)，且有iiiEf(X)f(x)piiif(x)pkkkf(x)pijiji,jg(x,y)pijiji,jEg(X,Y)g(x,y)p例7设X的分布律为求EX，E(-X+2),EX2。解EX=(-1)(1/8)+0(1/4)+1(3/8)+3(1/4)=1E(-X+2)=[-(-1)+2](1/8)+(-0+2)(1/4)++(-1+2)(3/8)+(-3+2)(1/4)=1EX2=(-1)2(1/8)+02(1/4)+12(3/8)+32(1/4)=22/8X-1013P1/81/43/81/42.连续型随机变量的数学期望定义2若随机变量X有密度函数(x)，且积分收敛，则称积分为X的数学期望，记为EX，即例8设X服从正态分布N(μ,2)，求EX。解|x|(x)dxx(x)dxEXx(x)dx22(x)21EXx(x)dxxedx2所以，X服从正态分布N(μ,2)时，EX=μ。22222xuu2uu22ax01(u)edu2ueduedu22012(edx)2a令其中用到积分函数是奇函数，在(-∞,+∞)内积分为0例9设X服从(a,b)内的均匀分布，求EX。解X的密度函数为可见，均匀分布的数学期望是区间(a,b)的中点。ba221axbf(x)ba01EXxf(x)dxxdxbabaab2(ba)2其它例10设X服从参数a0的指数分布，求EX解X的密度函数为axax0axaxax000ax0aex0f(x)0EXxf(x)dxxaedxxdexeedx11eaax0连续型随机变量函数的数学期望一维连续型随机变量函数的数学期望对连续型随机变量X的函数g(X),X的密度函数为(x),若积分收敛，则积分称为连续型随机变量X的函数g(X)的数学期望，记为Eg(X),即证明略。但该结论很重要，给出了计算连续型随机变量的函数的数学期望的方法。|g(x)|(x)dxg(x)(x)dxEg(X)g(x)(x)dx例11设X服从柯西分布，证明EX不存在。证X的密度函数为所以，X服从柯西分布时，EX不存在。222220022x01f(x)(1x)1f(x)dxdx(1x)x12dx|x|d(1x)(1x)(1x)11ln(1x)limln(1x)|x|例12若X服从[0,2]上的均匀分布，求E(sinX)解X的密度函数：绝对收敛，所以E(sinX)存在，且20201|sinx|(x)dx|sinx|dx2112sinxdx(sinx)dx22由于201E(sinX)sinx(x)dxsinxdx0210x2(x)20其它二维连续型随机变量函数的数学期望设二维连续型随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)，如果收敛，则g(X,Y)的数学期望存在，记为Eg(X,Y)，且有特别有式中fX(x)和fY(y)分别为为X和Y的密度函数。g(x,y)f(x,y)dxdyEg(X,Y)g(x,y)f(x,y)dxdyXYEXxf(x,y)dxdyxf(x,y)dydxxf(x)dxEYyf(x,y)dxdyyf(x,y)dxdyyf(y)dy例12设二维连续型随机变量(X,Y)服从半圆域D上的均匀分布，其中D={(x,y):x2+y2≤1,y≥0}，求EX,EY和EX3Y。解(X,Y)的联合密度函数为22211x10D11x10D11x33310D22EXxdxdydxxdy0224EYydxdydxydy322E(XY)xydxdy(xydy)dx0故222x+y1y0f(x,y)=π0当且其他5.1.3数学期望的性质性质1一个常数c的数学期望等于这个常数，即Ec=c证将常数c看成一个离散变量，它服从单点分布，即X=c,P(X=c)=1,由定义得Ec=EX=cP(X=c)=c1=c性质2设c是常数，若X的数学期望EX存在，则EcX也存在，且有EcX=cEX证以连续型X为例。设X的密度函数为(x),而积分由于EX存在且收敛，故EcX存在。故有EcXcx(x)dxcx(x)dxcEX|cx|(x)dx|c||x|(x)dx性质3若随机向量(XY)的数学期望(EX,EY)存在，则X+Y的数学期望也存在，且有E(X+Y)=EX+EY。证以连续型(XY)为例。设联合密度函数为f(x,y),EX,EY|x|f(x,y)dxdy|y|f(x,y)dxdy|xy|f(x,y)dxdy(|x||y|)f(x,y)dxdy|x|f(x,y)dxdy|y|f(x,y)dxdy|xy|f(x,y)dxdy因为存在，则，收敛所以，有界，则积分绝对收敛。E(XY)(xy)f(x,y)dxdyxf(x,y)dxdyyf(x,y)dxdyEXEY□类似地，若随机变量的函数f(X)，g(Y)的数学期望Ef(X)，Eg(Y)存在，则f(X)+g(Y)的数学期望也存在，且有特别的性质4若随机向量(XY)的数学期望EX，EY存在，且XY相互独立，则E(XY)也存在，且有E(XY)=EX·EYEf(X)g(Y)Ef(X)Eg(Y)E(XY)EXEYE(aXbYc)aEXbEYc证以连续型(XY)为例。设联合密度函数为(x,y),性质5如a≤X≤b，则EX存在，且a≤EX≤b。XYXYXYX,Y(x,y)(x)(y)|xy|(x,y)dxdy(|x||y|)(x)(y)dxdy|x|(x)dx|y|(y)dy|xy|(x,y)dxdyE(XY)E(XY)(xy)(x,y)dxdy(xy)因为相互独立，则所以，收敛，存在，且有XYXY(x)(y)dxdyx(x)dxy(y)dyEXEY利用数学期望的性质，可使一些随机变量的数学期望的计算简化。这些性质还可以推广到n个随机变量X1,X2,…,