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圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ABCDOABOA'B'O'中有一组量相等,在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.OBCA特征:①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.辩一辩图中的∠CDE是圆周角吗?CDECDECDECDE圆周角:__________,并且的角______________。圆心角:___________的角.顶点在圆上两边都和圆相交顶点在圆心探索:判断下列各图中,哪些是圆周角,为什么?当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?.BACDEE●OBDCAAC所对角∠AEC∠ABC∠ADC的大小有什么关系?⌒生活实践已知:圆O与圆P是两个同心圆,弧AB与弧CD是两个等弧,他们是对的的圆周角∠AEB、∠AFB、∠CGD的大小关系?结论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等ABCO有没有圆周角?有没有圆心角?它们有什么共同的特点?它们都对着同一条弧⌒⌒下列图形中,哪些图形中的圆心角∠BOC和圆周角∠A是同对一条弧。ABCOABCOABCOABCODABCOD(1)(2)(3)(4)(5)如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?说说你的想法,并与同伴交流.●OABC●OABC●OABC问题:圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系?(1)当圆心在圆周角的一边上时,探究一:证明:(圆心在圆周角一边上)结论:同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.COBABACCOCOABOCBAC21CBACBOC2.当圆心在圆周角外部时结论:同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:∴∠ABC=∠AOC.21∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,2121●ODABC3.当圆心在圆周角内部时提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:∴∠ABC=∠AOC.21∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,2121●OABCD结论:同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.结论:圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。由圆周角定理可知:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所得对的弧一定相等。•回顾:圆周角定理及推论?•思考:判断正误:1.同弧或等弧所对的圆周角相等()2.相等的圆周角所对的弧相等()3.90°角所对的弦是直径()4.直径所对的角等于90°()5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°()1、如图,在⊙O中,ABC=50°,则∠AOC等于()A、50°;B、80°;C、90°;D、100°ACBOD2、如图,△ABC是等边三角形,动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于()A、30°;B、60°;C、90°;D、45°CABPB练习:试找出下图中所有相等的圆周角。56781243ABCDABCO1、如图,已知在⊙O中,∠BOC=150°,∠A=_____2、如图,∠A是圆O的圆周角,∠A=40°,求∠OBC的度数。BAO.70°x3.求圆中角X的度数AO.X120°CCDB4、如图,在直径为AB的半圆中,O为圆心,C、D为半圆上的两点,∠COD=500,则∠CAD=_________25º1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度?半圆或直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径探究二:OABC2.90°的圆周角所对的弦是否是直径?例1:如图,AB为⊙O的直径,∠A=70°,求∠ABC的度数。ABCO解:∵AB为⊙O的直径∴∠C=90°∵∠A=70°∴∠B=20°例2:如图,⊙O直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长.86102222ACABBC又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,221052(cm)22ADBDAB解:∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC中,∵CD平分∠ACB,∴AD=BD..ACDBCDOABCD1.如图AB是⊙O的直径,C,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=_____.ABOCD40°提示:连接AD50°练习4.如图,内接于O,,AB=AC,BD为O的直径,AD=6,则AB=.BD=_____0120BACOBDACCODBA如图:圆内接四边形ABCD中,∵∠A的度数等于弧BCD的一半,∠BCD的度数等于弧BAD的一半,又∵弧BCD+弧BAD度数为360°∴∠A+∠C=180°.同理∠B+∠D=180°.圆内接四边形的对角互补。探究三1、如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BOD=100°,则∠BAD=∠BCD=反馈练习:2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A=∠B=∠C=∠D=50º130º60º90º120º90º3、如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠DCE=75º,则∠BOD=150ºABCDOABCDEo4.已知⊙O中弦AB的等于半径,求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数.OAB圆心角为60°圆周角为30°或150°.注意:一条弦所对的圆周角有两种情况,它们的度数之和为180度。6.如图,圆心角∠AOB=100°,则∠ACB=___。OABCOABCD5、如图,AB是⊙O的直径,若∠BCD=25°,则∠AOD=______130思维拓展:1、圆内接平行四边形一定是形。2、圆内接梯形一定是形。3、圆内接菱形一定是形。矩等腰梯正方1._________在圆上,并且角的两边都_________的角叫做圆周角.2.在同一圆中,一条弧所对的圆周角等于_________圆心角的_________.3.在同圆或等圆中,____________所对的圆周角____________.4._________所对的圆周角是直角.90°的圆周角______是直径.5.如图,若五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,则∠BOC=______,∠ABE=______,∠ADC=______,∠ABC=______.6.如图,若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形,则∠AED=______,∠FAE=______,∠DAB=______,∠EFA=______.7.如图,ΔABC是⊙O的内接正三角形,若P是上一点,则∠BPC=______;若M是上一点,则∠BMC=______.8.在⊙O中,若圆心角∠AOB=100°,C是上一点,则∠ACB等于().A.80°B.100°C.130°D.140°9.在圆中,弦AB,CD相交于E.若∠ADC=46°,∠BCD=33°,则∠DEB等于().A.13°B.79°C.38.5°D.101°10.如图,AC是⊙O的直径,弦AB∥CD,若∠BAC=32°,则∠AOD等于().A.64°B.48°C.32°D.76°11.如图,弦AB,CD相交于E点,若∠BAC=27°,∠BEC=64°,则∠AOD等于().A.37°B.74°C.54°D.64°12.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=138°,则它的一个外角∠DCE等于().A.69°B.42°C.48°D.38°13.如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°,∠ABC=60°,BD是⊙O的直径,BD交AC于点E,连结DC,则∠AEB等于().A.70°B.90°C.110°D.120°14.已知:如图,△ABC内接于⊙O,BC=12cm,∠A=60°.求⊙O的直径.15.已知:如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,∠ACD=30°,AE=2cm.求DB长.16.已知:如图,⊙O的直径AE=10cm,∠B=∠EAC.求AC的长.
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