工程力学M第8章

扭转变形扭矩图剪应力互等定理圆轴扭转的强度与刚度设计扭转超静定问题简介圆轴扭转时的剪应力分析第8章扭转问题请判断哪一杆件将发生扭转当两只手用力相等时，拧紧罗母的工具杆将产生扭转工程上传递功率的圆轴传动轴请判断哪些零件将发生扭转传动轴将产生扭转工程上传递功率的圆轴连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转工程上传递功率的圆轴请判断哪一部件将发生扭转工程上传递功率的圆轴及其扭转变形第8章扭转问题工程上将主要承受扭转的杆件称为轴，当轴的横截面上仅有扭矩（Mx）作用时，将产生与扭矩相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。这种分布内力在一点处的集度，即为剪应力。工程上传递功率的圆轴及其扭转变形考察圆轴扭转变形的特点？t工程上传递功率的圆轴及其扭转变形当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时，其横截面上将只有扭矩一个内力分量。圆轴受扭后，将产生扭转变形，圆轴上的每个微元的直角均发生变化，这种直角的改变量即为剪应变。这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现剪应力分别用t和t表示。ABCDtA'B'C'D'扭矩图扭矩图扭矩图作用在杆件上的外力偶矩，可以由外力向杆的轴线简化而得，但是对于传递功率的轴，通常都不是直接给出力或力偶矩，而是给定功率和转速。因为力偶矩在单位时间内所作之功即为功率，于是有PT＝其中T为外力偶矩；为轴转动的角速度；P为轴传递的功率。扭矩图考虑到：1kW＝l000N·m/s，上式可以改写为其中功率P的单位为kW；n为轴每分钟的转数，用r/min表示。mN9549nPT＝PT＝扭矩图在扭转外力偶作用下，圆轴横截面上将产生扭矩。确定扭矩的方法也是截面法，即假想截面将杆截开分成两部分，横截面上的扭矩与作用在轴的任一部分上的所有外力偶矩组成平衡力系。即可求得扭矩的大小与方向。当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似。扭矩的正负号规定：右手螺旋法则。指向外法线为“+”；反之为“-”。扭矩图例题8-1圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。试：画出圆轴的扭矩图。例题8-1扭矩图解：1．确定控制面外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面。2．应用截面法由平衡方程0xM确定各段圆轴内的扭矩。例题8-1扭矩图3．建立Mx－x坐标系，画出扭矩图建立Mx－x坐标系，其中x轴平行于圆轴的轴线，Mx轴垂直于圆轴的轴线。将所求得的各段的扭矩值，标在Mx－x坐标系中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。圆轴扭转时的剪应力分析第8章扭转问题分析圆轴扭转剪应力的方法与分析拉压杆正应力的方法基本相同，就是：根据表面变形作出平面假定；由平面假定得到应变分布，亦即得到变形协调方程；再由变形协调方程与应力－应变关系得到应力分布，也就是含有待定常数的应力表达式；最后利用静力方程确定待定常数，从而得到计算应力的公式。圆轴扭转时的剪应力分析“三部曲”：几何+物理+平衡应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析变形协调方程弹性范围内的剪应力－剪应变关系圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式静力学方程圆轴扭转时的剪应力分析变形协调方程——几何关系圆轴扭转时的剪应力分析变形协调方程圆轴扭转时，其圆柱面上的圆保持不变，都是两个相邻的圆绕圆轴的轴线相互转过一角度。根据这一变形特征，假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，并且绕圆轴的轴线刚性地转过一角度。这就是关于圆轴扭转的平面假定。t当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时，其横截面上将只有扭矩一个内力分量。圆轴受扭后，将产生扭转变形，圆轴上的每个微元的直角均发生变化，这种直角的改变量即为剪应变。这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现剪应力分别用t和t表示。ABCDtA'B'C'D'圆轴扭转时的剪应力分析变形协调方程圆轴扭转时的剪应力分析变形协调方程具体推导如下圆轴扭转时的剪应力分析变形协调方程dtandefdxxddx几何关系即ddx其中称为单位长度杆的相对扭转角。xdd圆轴扭转时的剪应力分析变形协调方程而对于两相邻截面，为常量，故上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的变形协调方程。const.ddx圆轴扭转时的剪应力分析弹性范围内的剪应力－剪应变关系t剪切胡克定律tG圆轴扭转时的剪应力分析弹性范围内的剪应力－剪应变关系若在弹性范围内加载，对于大多数各向同性材料，剪应力与剪应变之间存在线性关系此即为剪切胡克定律，式中G为比例常数，称为切变模量。(8-2)xGGddtxddtG圆轴扭转时的剪应力分析弹性范围内的剪应力－剪应变关系其中上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。－对于确定的横截面是一个不变的量。xGdd(b)xGGddt圆轴扭转时的剪应力分析弹性范围内的剪应力－剪应变关系上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。圆轴扭转时的剪应力分析静力学方程——平衡条件tAdAxM＝静力学方程圆轴扭转时的剪应力分析作用在横截面上的剪应力形成一分布力系，这一力系向截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭矩。于是有此即静力学方程。AAId2PxGGddtPddGIMxxAxMAtdIP就是圆截面对其中心的极惯性矩。式中的GIP称为圆轴的扭转刚度。静力学方程圆轴扭转时的剪应力分析2()xAAAddMdAGdAGdAdxdxt圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式xGGddtPddGIMxxPIMxt圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式这就是圆轴扭转时横截面上任意点的剪应力表达式，其中Mx由平衡条件确定；IP由积分求得。(8-5)PIMxt圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式(8-5)最大剪应力PPmaxmaxWMIMxxtmaxPPIWWp扭转截面系数圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式(8-7)(8-6)截面的极惯性矩与扭转截面系数=d/D对于直径为d的实心圆截面对于内、外直径分别为d和D圆环截面16π32π3P4PdWdI,161π321π43P44P－－DWDI,圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时的剪应力分析例题8-2图示直径50mm的转动轴，转速n=300r/min的电机通过A轮输入100kW的功率，由B、C和D轮分别输出45kW，25kW和30kW以带动其他部件。试求：（1）扭矩图；（2）轴的最大应力例题8-2圆轴扭转时的剪应力分析解：(1)计算出作用在轮上的力偶矩，3451095491.43300BTkNm3251095490.795300CTkNm3301095490.955300DTkNm(2)由扭矩图，最大值为1.75kNm，出现在AC段，且在等截面杆的圆周上，由式（8-6）,（8-7）例题8-2圆轴扭转时的剪应力分析33963362maxmax63.14(50)1024.51016161.751071.410/71.424.510PxPdWmMNmMPaWt例题8-2已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。例题8-3求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。圆轴扭转时的剪应力分析例题8-3解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴75954995497162Nm100..xPMTnmax13111640MPaπxxPMMWdt3161671620045m=45mmπ4010..d圆轴扭转时的剪应力分析例题8-3解：对于空心轴，算得d2＝0.5D2=23mmmax234221640MPaπ1xxPMMWDt32461671620046m=46mmπ1-4010..D圆轴扭转时的剪应力分析例题8-3解：确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴D2＝46mmd2＝23mm实心轴d1=45mm长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：28.15.01110461045122332222121＝DdAA圆轴扭转时的剪应力分析例题8-3剪应力互等定理第8章扭转问题yxzADCBdxdydz微元能不能平衡？怎样才能平衡？哪些力互相平衡？剪应力互等定理ttyxzADCBdxdydz哪些力互相平衡？ttttyzxdddtxzydddt根据力偶平衡理论剪应力互等定理剪应力互等定理ttyxzADCBdxdydztt如果在微元的一对面上存在剪应力，另一对与剪应力作用线互相垂直的面上必然有大小相等、方向或相对(两剪应力的箭头相对)或相背(两剪应力的箭尾相对)，以使微元保持平衡。微元上剪应力的这种相互关系称为剪应力互等定理剪应力互等定理承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计第8章扭转问题扭转实验与扭转破坏现象扭转强度设计承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计扭转刚度设计扭转实验与扭转破坏现象承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计扭转实验与扭转破坏现象为了测定剪切时材料的力学性能，需材料制成扭转试样在扭转试验机上进行试验。对于低碳钢，采用薄壁圆管或圆筒进行试验，使薄壁截面上的剪应力接近均匀分布，这样才能得到反映剪应力与剪应变关系的曲线。对于铸铁这样的脆性材料由于基本上不发生塑性变形，所以采用实圆截面试样也能得到反映剪应力与剪应变关系的曲线。承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计扭转实验与扭转破坏现象试验结果表明，低碳钢的剪应力与剪应变关系曲线上，类似于拉伸正应力与正应变关系曲线，也存在线弹性、屈服和破断三个主要阶段。屈服强度和强度极限分别用τs和τb表示。对于铸铁，整个扭转过程，都没有明显的线弹性阶段和塑性阶段，最后发生脆性断裂。其强度极限用τb表示。承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计扭转实验与扭转破坏现象承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计韧性材料与脆性材料扭转破坏时，其试样断口有着明显的区别。韧性材料试样最后沿横截面剪断，断口比较光滑、平整。铸铁试样扭转破坏时沿45°螺旋面断开，断口呈细小颗粒状。扭转强度设计承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计扭转强度设计与拉压强度设计相类似，扭转强度设计时，首先需要根据扭矩图和横截面的尺寸判断可能的危险截面；然后根据危险截面上的应力分布确定危险点（即最大剪应力作用点）；最后利用试验结果直接建立扭转时的强度设计准则。ttmax对于脆性材料，对于韧性材料，其中t为许用剪应力。圆轴扭转时的强度设计准则为bbntt＝ssntt＝承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计扭转强度设计上述各式中许用剪应力与材料的许用正应力之间存在一定的关系。对于脆性材料，对于韧性材料，t050577..t如果设计中不能提供t值时，可根据上述关系由值求得值。承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计已知：汽车发动机将功率通过主传动轴AB传给后桥，驱动车轮行驶。设主传动轴所承受的最大外力偶矩为