教、学案：10、函数的图像及变换

110、函数的图像及图像变换知识点：1、函数的图像2、函数图像的变换3、函数图像的应用知识梳理1.二次函数的解析式的三种形式：(1)一般式2()(0)fxaxbxca;(2)顶点式2()()(0)hfxaakx;（当已知抛物线的顶点坐标(,)hk时，设为此式）(3)零点式12()()()(0)fxaxxxax；（当已知抛物线与x轴的交点坐标为12(,0),(,0)xx时，设为此式）(4)二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。二次函数cbxaxy2的图象的对称轴方程是abx2，顶点坐标是abacab4422，。2.常见函数的图像：⑴幂函数：xy（)R；⑵指数函数：)1,0(aaayx；⑶对数函数:)1,0(logaaxya；(4)其它常用函数：①正比例函数：)0(kkxy；②反比例函数：)0(kxky；③对号函数)0(axaxy；3．函数图象：⑴图象作法：①描点法（特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法⑵图象变换：①平移变换：ⅰ))()(axfyxfy，)0(a———左“+”右“－”；ⅱ))0(,)()(kkxfyxfy———上“+”下“－”；②对称变换：ⅰ)(xfy)0,0()(xfy；ⅱ)(xfy0y)(xfy；k0k0y=kx+boyxa0a0y=ax2+bx+coyx0a1a11y=axoyx0a1a11y=logaxoyx2ⅲ)(xfy0x)(xfy；ⅳ)(xfyxy()xfy；③翻转变换：ⅰ)|)(|)(xfyxfy———右不动，右向左翻（)(xf在y左侧图象去掉）；ⅱ)|)(|)(xfyxfy———上不动，下向上翻（|)(xf|在x轴下面无图象）；3.对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是2bax;两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称.题型归纳:一、函数图像例1（1）（2019新课标3（7））函数3222xxxy在6,6的图象大致为A．B．C．D．（2）(2018新课标2)3．函数2eexxfxx的图像大致为答案:（1）B.分析：已知函数显然是奇函数，排C，取x=4代入验证得y(7,8)，所以选B（2）B.分析：已知函数是奇函数，排A，取x=1，得y=e-e-10，排D，而C是反比例函数图像，所以排除，选B练习11(2018新课标3)9．函数422yxx的图像大致为（）32（2016新课标（1）9）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（A）（B）C3（2012年高考（四川理））函数的图象可能是4、已知a0且a≠1，则两函数f(x)＝ax和g(x)＝loga（-x1）的图象只可能是()5．数2()1logfxx与1()2xgx在同一直角坐标系下的图象大致是（）6、向高为的水瓶中注水，注满为止．如果注水量与水深的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）4二、图像的平移、对称与翻折变换例2、(1)已知定义在区间(0,2)上的函数()yfx的图像如图所示,则(2)yfx的图像为(2)已知函数21)(,12)(xxgxfx，构造函数)(xF，定义如下：当)()(xgxf时，)()(xfxF；当)()(xgxf时，)()(xgxF那么)(xF：A．有最小值0，无最大值B．有最小值-1，无最大值C．有最大值1，无最小值D．无最小值，也无最大值；(3)（15B，福建，文15）．若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于.分析：（1）y=-f(-x)与()yfx的图像关于原点对称，y=-f(-x)的图像向右平移2个单位即得(2)yfx的图像，选B（2）画出图像可得答案B(3)由已知得其对称轴是x=1,则函数化为f(x)=2|x-1|，所以f(x)在[1,+∞）上单调增，所以m1，即m的最小值是1练习21、已知]3,1[,)2()(2xxxf，则函数)1(xf得单调递减区间是________.2、函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是[－2，0]，则f(x)的单调递减区间是________．3、函数xxxf2)(的单调递减区间是___________________值域是______________（画出图像）()2()xafxaR(1)(1)fxfx()fx[,)mm()2()xafxaR(1)(1)fxfx54、函数)(xf在区间]3,2[是增函数，则)5(xfy的递增区间是（）A．]8,3[B．]2,7[C．]5,0[D．]3,2[5．（2013年高考北京卷（理））函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y=ex关于y轴对称,则f(x)=A.B.C.D.三、函数图像的应用例3（1）（15B，北京，理7）如图，函数的图象为折线ACB，则不等式的解集是A.B.C.D.(2)（15C，安徽，理9）函数的图像如图所示，则下列结论成立的是A.B.C.D.（3）已知()1,()2,()6,xfxxgxhxx设函数()min{(),(),()}Fxfxgxhx，则()Fx的最大值为（（A）1(B)2(C)72(D)4（4）（2017全国3理15）设函数，则满足的的取值范围是_________.解析：（1）如图时，=1解集为.注意定义域不包括-1.(2)由2axbfxxc及图象可知，xc，0c，则0c；当0x时，2(0)0bfc，)(xf1log)(2xxf01xx11xx11xx21xx2)()(cxbaxxf0,0,0cba0,0,0cba0,0,0cba0,0,0cba1020xxxfxx，，„112fxfxx1x=2()log(1)fxx=+)1(log)(2xxf1,1)1(log2xA-1BC22Oxy6所以0b；当0y，0axb，所以0bxa，所以0a.故0a，0b，0c，选C.（3）画出图像即可得答案C（4）解析一因为，，即.由图像变换可作出与的图像如图所示.由图可知，满足的解集为.x0解析二(分段讨论)：原不等式可化为x+1+(x-21)+11或x0且x-210x-2102x+(x-21)+11或2x+2x-1/21解之得，x-1/4归纳：函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项.第（1）函数y=log2(x+1)的定义域{x|x-1},所以排B,然后由x=1时得从而得答案C第（2）题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外，根据特殊点的位置能够判断,,abc的正负关系.（3）（4）题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想.例4（1）已知mxfx132)(是奇函数，求常数m的值；（2）画出函数|13|xy的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k无解？有一解？有两解？1,02,0xxxfxx≤112fxfx112fxfx12yfx1yfx112fxfx1,42()log(1)fxx=+121211(,)441()2yfx1()yfxyxO7分析：（1）利用f(-1)=f(1)求出m；也可通分后利用前面归纳的模型得m=1（2）画出函数|13|xy的图像（即y=3xd的图像向下平移1个单位后保留x轴上方的部分，x轴下面的沿x轴翻折即可），再画y=k的图像，按它们没有交点、只有一个交点、两个交点分别得k的值：k0时无解、k=0或k1时一解、0k1时两解归纳：本题正确的画出图像，方程的解转化成函数图像交点的个数，主要考查函数图像的画法，数形结合思想，函数与方程、零点等基础知识.训练数形结合的能力.练习31.【2015高考安徽，文14】在平面直角坐标系xOy中，若直线ay2与函数1||axy的图像只有一个交点，则a的值为.2．（2013年高考湖南卷（理））函数的图像与函数的图像的交点个数为A.3B.2C.1D.03．（2013年天津数学（理））函数的零点个数为(A)1(B)2(C)3(D)4综合练习1（15C，天津，文8）已知函数,函数,则函数的零点个数为A.B.C.D.2(2020新高考全国1)8.若定义在R的奇函数()fx在(,0)单调递减，且(2)0f，则满足(1)0xfxx的的取值范围是A．[1,1][3,)B．[3,1][0,1]C．[1,0][1,)D．[1,0][1,3]3、已知函数23[1,2]()3(2,5]xxfxxx，（1）在图1给定的直角坐标系内画出()fx的图象；（2）写出()fx的单调区间，并指出单调性；（3）写出函数()fx的最大值和最小值。2,)2(,2,2)(2xxxxxf)2(3)(xfxg)()(xgxfy234501xy2345123-1-18答案练习1：DDDCCB练习2:1、[-2,1]（提示：函数f(x)的单调减区间是[-1,2],然后左移1个单位即得）2、[-1,1]；3、[-21,0],[21,+∞）、（-∞，1/4]；4、B；5、D练习3:1、-21；2、B;3、B提示：1、【解析】在同一直角坐标系内，作出12axyay与的大致图像，如图：由题意，可知2112aa2、直接画图3、2x|log0.5x|-1=0可化为|log0.5x|=2-x，然后在同一坐标系内画出函数y=|log0.5x|与y=2-x的图像综合练习：1、解析：法1,令：，令解得，共两个零点,选A.法2先画出的图像，令，则的图像与的图像关于点对称,画出的图像再将向上平移3个单位，可得的图像，可知与的图像有2个公共点，故选A.2、D3（1）图像略；（2）函数在[-1,0]、[2,5]上单调增，在[0,2]上单调减（3）f(x)max=3,f(x)min=-10,0,22)2(2xxxxxf)()(xfxh0,120,12,553)2(22xxxxxxxxf0)(xh251,25521xx)(xf)2()(xfxh)(xh)(xf)0,1()(xh)(xgy)(xfy)(xgy