积分不等式的证明方法

积分不等式的证明摘要:本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用单调性来证积分不等式,利用拉格朗日中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用Taylor公式来证积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式。关键词：积分不等式单调性拉格朗日中值定理taylor公式二重积分凹凸性柯西不等式英文题目:tostudyintegralinequalityproof:usingthemonotonousintegralinequality,uselSchwartzinequalitycertificateintegralinequality,usingLagrange'smeanvaluetheoremofintegralinequality,lusingintegralmeanvaluetheoremofintegralinequality,lTaylorformulatocardintegralinequality,usetheconcaveandconvexfunctionsextocardintegralinequality,usethedoubleintegraltocardintegralinequality.Keyword:Integralinequality，monotonous,Lagrange'smeanvaluetheorem,Taylorformula,doubleintegral,Cauchyinequality1引言：数学分析是数学专业的一门重要的专业基础课，其中很多问题的解决都离不开不等式。而积分不等式是数学分析中应用较广的一类不等式。它的证明方法与应用是数学分析的中的一个难点。它的证明，使数学不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用。它的应用及推广也是很灵活巧妙的，使一些较为困难的问题迎刃而解。因此，深刻理解和掌握积分不等式的证明方法，及其在数学分析中不同方面的应用，有助于我们对理论知识的理解和应用，同时也对我们以后的学习有所帮助，对提高我们的思维能力和技能、技巧也是很有益的。2研究问题及结果1）函数的单调性在证明积分不等式上的应用例1若)()(xgxf、在[,]ab上可积，则bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(222证：将b改写为x，并设dttgdttfdttgtfxFxaxaxa222)()()(，dttfxgdttgxfxgxfdttgtfxFxaxaxa2222'2=dttfxgtgxfxgxftgtfxa2222=dttgxfxgtfxa2)(0从而知)(xF为减函数，于是有)()(aFbF，又)(aF=0，所以0)(bF因此有bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(222注：利用函数的单调增减性证明积分不等式，先将定积分改写成变上限的积分，移项使不等式一端为0，另一端设为)(xF，再验证)(xF的单调增减性。2）利用拉格朗日中值定理来证积分不等式［1］定理4:设函数()fx满足如下条件：（1）()fx在闭区间,ab上连续；（2）()fx在开区间(,)ab内可导，则在(,)ab内至少存在一点，使得()()()fbfafba。注：称()()()fbfafba为拉格朗日公式例1．设)(xf在],[ba上有一阶连续导数，且0)(af，证明：（１）|)(|max2)(|)(|],[2xfabdxxfbaxba证明：（１）令|)(|max],[xfMbax，由拉氏中值定理知))(()()()(axfafxfxf从而],[),(|))((||)(|baxaxMaxfxf所以MabdxaxMdxxfdxxfbababa2)()(|)(||)(|2（２）dxxfabdxxfbaba222])([2)()(证明：２）xaxadttfafdttfxf)()()()(，则baxaxaxadttfaxdttfdtdttfxf2222)]([)()]([1])([)(故dxxfabdxaxdttfdxxfbabababa2222])([2)()()]([)(注：如果积分不等式的条件中有一阶可导,则我们常常可以用拉格朗日中值定理来证积分不等式.3）.利用积分中值定理来证积分不等式［6］定理设()fx在,ab上连续，()gx在,ab上可积且不变号，则存在,ab，使得()()()()bbaafxgxdxfgxdx特别地，当()1gx时，存在,ab，使得()()()bafxdxfba例(1)设()fx在0,1上可导，证明对于0,1x，有1'0()()()fxftftdt证：由积分中值定理，知10()()ftdtf，其中0,1，又对任意的0,1x，有'()()()xfxfftdt，即'()()()xfxfftdt，当x时，11'''0()()()()()()()xtfxfftdtfftdtftftdt当x时，'''()()()()()()()xxxfxfftdtfftdtfftdt()f+1'0()ftdt1'0()()ftftdt从而当0,1x时，1'0()()()fxftftdt4）利用Taylor公式来证积分不等式例1：设,xab，0,''0fxfx求证badxxfabxf2证明：将xf在x处展开成一阶泰勒公式21'''2fxftftxtfxt之间与位于tx,由于0fx'fxftftxt将上式两边在,ab上对t积分得，'bbaabafftdtftxtdt即/bbbaaabafftdtxtftftdt=afaxbfbxdttfba22baftdtbafbxfbxafa0,0,0xbaxxfbaxfabdxxf2即badxxfabxf2。5）利用函数的凹凸性来证积分不等式例1.设)(xf是],[ba的连续函数，而且是非负和下凸的，0)0(f求证：10210)(41)(dxxfdxxf。证明：令200)()(41)(xxdttfdttfx，则0)0(，)0()2(21)(41)2(21)(41)(fxfxfxfxfx由于)(xf下凸的，故)]0()([21)2(fxfxf。所以0)(x，)(x在]1,0[上单调增加，从而0)0()(x即0)()(41200xxdttfdttf，其中，]1,0[x特别，当1x时，10210)(41)(dttfdttf。6）利用二重积分来证积分不等式例1设函数fx为0,1上的单调减少且大于0的连续函数，求证：1122001100xfxdxfxdxxfxdxfxdx证明：令dxxfdxxxfdxxfdxxxfI1010210210=1111220000xfxdxfydyxfxdxfydy=1100xfyfxfyfxdxdy同理I=1100yfxfyfxfydxdy两边相加整理得2I=dxdyxfyfyxxfyf1010，00,1fx且在上单调减少，0xfyfyx0I命题得证。7）柯西不等式中证明积分不等是式例1．柯西不等式的证明。证明:柯西不等式为bababadxxgdxxfdxxgxf)()(])()([222。设bababadxxgdxxfdxxgxfu)()(])()([)(222显然)(u在],[ba上连续，在),(ba内可导，且uauauadxxfugdxxgufdxxgxfuguf)()()()()()()()(2)u2222（uauauadxugxfdxugufdxxgxfuguf)()()()()()()()(22222uadxugxfxgxfugufxguf)]()()()()()(2)()([2222uadxugxfxguf0)]()()()([2所以)(u在],[ba上单调减少，则0)()(ab，即0)()(])()([)(222bababadxxgdxxfdxxgxfb得到结论bababadxxgdxxfdxxgxf)()(])()([222。8)利用线性变换证明积分不等式..例1：设xf为,ab上单调增加的可积函数，xabxadttfxg,则bxabgabaxxg,证明：当ax时结论成立，只需证bxadttfabdttfaxbaxa,11，经线性变换后，即证duuabafduuaxaf1010，由于,fxab在上单调增加，利用定积分的单调性知结论成立。结束语：从以上文章分析可见，根据不同积分不等式特征，采取不同的方法.它使高等数学的不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用。通过这次的实践课论文，我学到很多知识，跨越了传统方式下的教与学的体制束缚，通过查资料和搜集有关文献培养了自学能力，在写论文的过程中也学到了一些做事情的心态和态度参考文献[1]李治飞赤峰学院报（自然科学版）[J][2]斐礼文数学分析的典型问题与方法[M]。北京：高等教育出版社，1993[3]王艳红积分不等式的证明[J]。内江科技[4]华东师范大学，数学分析（第三版）[M]北京：高等教育出版社2001分工情况：1)2)3)4)引言结束语由丁发虎完成。5)6)7）8）摘要关键词由赵钢筋完成。