第二章-张量(清华大学弹塑性力学)

1冯西桥清华大学工程力学系2007.09.21第二章张量分析初步FundamentalsofTensorAnalysis2目录引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量AppendixA3引言广义相对论（1915）、理论物理连续介质力学（固体力学、流体力学）现代力学的大部分文献都采用张量表示AppendixA主要参考书:W.Flugge,TensorAnalysisandContinuumMechanics,Springer,1972黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.4张量基本概念标量（零阶张量）例如：质量，温度质量密度应变能密度，等其值与坐标系选取无关。AppendixA.15矢量（一阶张量）位移，速度，加速度，力，法向矢量，等AppendixA.1e3=ke1=ie2=jx2=yx3=zx1=xuu3e3u2e2u1e1p10ijijijee张量基本概念6矢量矢量u在笛卡尔坐标系中分解为31122331iiuuuuiueeeeAppendixA.1其中u1,u2,u3是u的三个分量，e1,e2,e3是单位基矢量。e3=ke1=ie2=jx2=yx3=zx1=xuu3e3u2e2u1e1p张量基本概念7矢量AppendixA.1e3=ke1=ie2=jx2=yx3=zx1=xuu3e3u2e2u1e1p既有大小又有方向性的物理量;其分量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系；遵从相应的矢量运算规则张量基本概念8矢量(可推广至张量)的三种记法：实体记法：u分解式记法：分量记法：AppendixA.1iu31122331iiuuuuiueeee张量基本概念9AppendixA.1指标符号用法1.三维空间中任意点P的坐标（x,y,z）可缩写成xi,其中x1=x,x2=y,x3=z。2.两个矢量a和b的分量的点积(或称数量积)为：31122331=iiiababababab张量基本概念10爱因斯坦求和约定如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为哑指标，简称哑标。AppendixA.13112233131122331===iiiiiiiiuuuuuabababababiiueeeeeab张量基本概念11AppendixA.1由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：由于哑标i仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如：=jjmmababab只要指标j或m在同项内仅出现两次，且取值范围和i相同。iiabab=ba=张量基本概念12约定：如果不标明取值范围，则拉丁指标i,j,k,…表示三维指标，取值1,2,3;希腊指标,,,…均为二维指标，取值1,2。张量基本概念13张量基本概念112233112233===iikkuuuuababababueeeeab拉丁指标11221122===uuuabababueeeab希腊指标14张量基本概念二阶张量应变，应力，速度梯度，变形梯度，等。三阶张量压电张量，等。四阶张量弹性张量，等。AppendixA.115二阶（或高阶）张量的来源描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量低阶张量的梯度低阶张量的并积更高阶张量的缩并，等。AppendixA.1张量基本概念16张量基本概念应力张量AppendixA.117张量的三种记法：实体记法：分解式记法：分量记法：AppendixA.1ij111112121313212122222323313132323333++eeeeeeeeeeeeeeeeee张量基本概念18爱因斯坦求和约定AppendixA.1112233ijjiiiinnnnT张量基本概念1111221331nnnT2112222332nnnT3113223333nnnT19AppendixA.1采用指标符号后，线性变换表示为111112213312211222233233113223333jjjjjjxaxaxaxaxxaxaxaxaxxaxaxaxax利用爱因斯坦求和约定，写成：iijjxax其中j是哑指标，i是自由指标。张量基本概念21AppendixA.1在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标。例：,0jijif若i为自由指标,0jijiif张量基本概念★22AppendixA.1自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。例如：表达式在自由指标i取1，2，3时该式始终成立，即有iijjxax111112213312211222233233113223333jjjjjjxaxaxaxaxxaxaxaxaxxaxaxaxax张量基本概念★23同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。AppendixA.1,0jijif,0jijif,0jkjkfi换成k张量基本概念★★24AppendixA.1指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度ds和其分量dxi之间的关系2222123ddddsxxx可简写成：2dddiisxx场函数f(x1,x2,x3)的全微分：ddiiffxx张量基本概念★25AppendixA.1可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来表示多重求和。例如：3311ijijijijijaxxaxx若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号。如：31112223331iiiiabcabcabcabc张量基本概念★★26AppendixA.1一般说不能由等式iiiiabac两边消去ai导得iibc但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特殊值使得上式成立张量基本概念★27AppendixA.1小结通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有k个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方程代表了nk个分量方程。在方程的某项中若同时出现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭加的nm个项。张量基本概念28张量分析初步矢量和张量的记法，求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商判则常用特殊张量，主方向与主分量AppendixA29AppendixA.2符号ij与erstij符号(Kroneckerdelta)定义(笛卡尔坐标系)1(=)0()ijijij(i,j=1,2,…,n)特性1.对称性，由定义可知指标i和j是对称的，即ijji30AppendixA.2符号ij与erst2.ij的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间1112132122233132331000100013.换标符号，具有换标作用。例如：2dddddddijijiijjsxxxxxx即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成的另一个指标，而自动消失。31AppendixA.2符号ij与erst类似地有;;;ijjkikijikjkijkjkiijkikjijjkikijjkklilaaaaaaaa32AppendixA.2符号ij与ersterst符号(排列符号或置换符号)定义(笛卡尔坐标系)110rste当r,s,t为正序排列时当r,s,t为逆序排列时当r,s,t中两个指标值相同时(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。(3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。12rsterssttr或33AppendixA.2符号ij与erst特性1.共有27个元素，其中三个元素为1，三个元素为-1，其余的元素都是02.对其任何两个指标都是反对称的，即3.当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两次)，erst的值不变rstsrtrtstsreeeerststrtrseee34常用实例1.三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质：每个基矢量的模为1，即ei•ej＝1(当i＝j时)不同基矢量互相正交，即ei•ej＝0(当i≠j时)上述两个性质可以用ij表示统一形式：ei•ej＝ijAppendixA.2符号ij与erst35AppendixA.2符号ij与erst当三个基矢量ei,ej,ek构成右手系时，有ijijkkeeee而对于左手系，有：ijijkkeeee1e3e2e1e2e3e36AppendixA.2符号ij与erst2.矢量的点积：3.矢量的叉积(或称矢量积)：()()()jjkkjkjkjkjkjjkkababababababeeee()()()()jjkkjkjkijkjkiababeababeeeee如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。37AppendixA.2符号ij与erst()ijkjkieabcabe叉积的几何意义是“面元矢量”，其大小等于由矢量a和b构成的平行四边形面积，方向沿该面元的法线方向。ijkijkjkjkicabeabe★abcab38AppendixA.2符号ij与erstcosabab★sinabab★()()0abaabb★abcab39三个矢量a,b,c的混合积是一个标量，其定义为：若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反号。当a,b,c构成右手系时，混合积表示这三个矢量所构成的平行六面体体积。若构成左手系，则为体积的负值。符号ij与erst[,,]()abc=abcabc★bacd=abh40AppendixA.2符号ij与erst由此可见符号ij和erst分别与矢量代数中的点积和叉积有关。利用(A.24)和(A.23a)式有(A.23a)(A.24)()ijijijkjkieabeeabe[,,]()()mmijkjkiijkmjkmiijkijkaebceabceabcabcabc=ee41AppendixA.2符号ij与erst5.三阶行列式的值111213212223112233213213311223313233aaaaaaaaaaaaaaaaaa312213211233113223aaaaaaaaa123123ijkijkijkijkeaaaeaaa42AppendixA.2符号ij与erst5.三阶行列式的值111213212223123123313233ijkijkijkijkaaaaaaeaaaeaaaaaa111222123333rstrstrstijkijkrstaaaaaaeeaaaaaa123orosotprpsptopqrstijkijkqrqsqtaaaaaaeeeaaaaaa43AppendixA.2符号ij与erst5.三阶行列式的值123orosotprpsptopqrstijkijkqrqsqteee123opqrsteeeopqrstee44AppendixA.2符号ij与erst5.e-恒等式，其