材料物理学-2-电子理论-XXXX

2019/8/4COLLEGEOFMATERIALSCIENCEANDCHEMICALENGINEERING.HEU12019/8/41第2章固体电子理论2019/8/4COLLEGEOFMATERIALSCIENCEANDCHEMICALENGINEERING.HEU22019/8/42金属自由电子理论能带理论-I现代电子理论(能带理论-II)固体电子理论2019/8/4COLLEGEOFMATERIALSCIENCEANDCHEMICALENGINEERING.HEU3§2.1金属自由电子论传统电子导电理论自由电子费米气体一、自由电子气体（DrudeModel）假设1：独立电子假设假设2：自由电子假设假设3：碰撞假设（电子-离子）假设4：驰豫时间假设假设5：隐含假设（经典力学）PaulKarlLudwigDrude（1863-1906）Drudetreatedthe(free)electronsasaclassicalidealgasbuttheelectronsshouldcollidewiththestationaryions,notwitheachother.随机分布的离子1）电子比热容太大，无实验证据；2）温度趋于零的时候，无限大的平均自由程与有限离子间矛盾(驰豫时间估算)；3）模型给出电导率与温度无关；……问题？成就：成功计算出洛仑兹数二、自由电子费米气体(SommerfeldModel)假设1：独立电子假设假设2：近自由电子假设假设3：碰撞假设(电子-离子；电子-电子)假设4：驰豫时间近似假设5：电子运动遵循F-D统计分布SommerfeldAssumption:ArnoldJohannesWilhelmSommerfeld（1868-1951）wasaGermantheoreticalphysicistwhopioneereddevelopmentsinatomicandquantumphysics,andalsoeducatedandgroomedalargenumberofstudentsfortheneweraoftheoreticalphysics.1、波函数和量子态数根据F-D统计分布和S方程，可知自由电子气中电子的波函数为：)exp()(21rkiVrkpmk,2/22金属中价电子的总数等于倒易空间中被占据的自由电子量子态个数：其中V-金属晶体的体积；波函数-取决于自由电子能量。2、周期性边界条件与kFreeClassicalElectronsstates由空间位置(x,y,z)和动量(px,py,pz)确定Electronstatedefinedbyapointink-spacexzypxpypzFreeQuantumElectronsstates由波矢量,k.或由(px,py,pz)=(kx,ky,kz)来表征电子在材料内部出现相同概率的位置.kxkykz3、k-空间与量子态k空间体积:运用周期性边界条件，变长L，体积V=L3,可以确定波矢量:...,3,2,1,,222zyxzzyyxxnnnLnkLnkLnk32L因而k空间densityofstates:338/21)(VLkNSincetheFEGisisotropic,thesurfaceofconstantEink-spaceisasphere.ThusforametalwithNelectronswecancalculatethemaximumkvalue(kF)andthemaximumenergy(EF).FkkxkzkyFermisphere222222222)(2)/,/,/(2mLnnnkmELnLnLnkzyxkzzyyxxTheallowedvaluesofnx,ny,andnz,arepositiveintegersfortheelectronstatesinthefreeelectrongasmodel.在单位能量间隔内的能态数目被称为能态密度（densityofstatesg(E)）.2222zyxnnnnrs334rsn33613481rsrsnn361233rsrsnnN33rsnN22222mLnEErsk3223232)2(VEmN3LVdEVEmdN3221232)2(g(E)EmEmdEdNEg2)(324、自由电子量子气体AtatemperatureTtheprobabilitythatastateisoccupiedisgivenbytheFermi-Diracfunction.Thefinitetemperatureonlychangestheoccupationofavailableelectronstatesinarange~kBTaboutEF.1+Tk-=)f(B-1expwhereμisthechemicalpotential.ForkBTEFμisalmostexactlyequaltoEF.Fermi-DiracfunctionforaFermitemperatureTF=50,000K,aboutrightforCopper.n(E)dEEFE索末菲的成功之处：（1）费米能的测量和计算（2）电子能态的测量和计算（3）费米温度（4）室温下费米能量（5）自由电子比热（6）魏德曼-费兰茨定律证明2019/8/4COLLEGEOFMATERIALSCIENCEANDCHEMICALENGINEERING.HEU20§2.2能带理论布洛赫能带理论能带模型能带电子的准经典近似和有效质量一、布洛赫能带理论假设1：独立电子假设假设2：等效周期势假设3：晶格散射假设4：量子力学及F-D统计Hewasable,bycombiningitwiththeessentialelementsofhisearlierworkonthemagneticmomentoftheneutron,toremeasurethisimportantquantitywithgreataccuracyincollaborationwithD.NicodemusandH.H.Staub(1948).Hismorerecenttheoreticalworkhasdealtprimarilywithproblemswhichhaveariseninconjunctionwithexperimentscarriedoutinhislaboratory.单电子近似的结果，周期性势场（周期为一个晶格常数）。)()(xvaxv)()(rvrRvn1－D3－Dr为电子位置矢量nR为离子的位矢Schrodingereq.)()()())(2(22rkErrvm1.周期性势场232.Bloch波1）Bloch定理：在周期性势场中运动的电子气波函数由如下形式)()(ruerrki其中u具有晶格的周期性，即)()(332211anananruru2）Bloch波的性质a.波函数不具有晶体周期性，而（k为实数时）电子分布几率具有晶格的周期性)()(xuexika222|)(||)(||)(|xuaxxb.当k为虚数，描写电子的表面态，k＝is(s0))()(xuexsxS小于0时无意义.c)周期边界条件：)()(xNax)()(ˆ)(xexTNaxikNa1ikNaexnNak2LNak22d)波矢相差倒格矢整数倍的Bloch波等效。因此把波矢限制在第一布区内.且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞数N可容纳的电子数为2N.)()(axxnKkk；具有共同本征值k与nKk描写同一状态.因此可以把波矢限制在第一布区内aka波矢数：NNaa2/2（考虑自旋，电子数为2N）3.中心方程与能带中心方程能带能带的表示方法周期区简约区周期区图示每个能带的状态总数为单胞数目的二倍ModifiedfromBandDiagram-SemiconductorsSiliconinwaveBloch:wofmodulusSquarecorrespondingtoΓpointandlowervalenceband布洛赫波示意图2维方格子的布里渊区二维正方晶格的布里渊区2019/8/4HEU.MAERAILPHYSICS32二维长方晶格的布里渊区2019/8/4HEU.MAERAILPHYSICS33二维六方晶格的十个布里渊区2019/8/434面心立方晶格的第一布里渊区HEU.MAERAILPHYSICS2019/8/4HEU.MAERAILPHYSICS35面心立方晶格的第一布里渊区主要对称轴：Δ：ΓX轴，四度旋转轴，波矢取值，0δ1；Λ：ΓL轴，三度旋转轴，波矢取值，01/2；Σ：ΓK轴，二度旋转轴，波矢取值，03/4。），，（002a），，（a2），，（02a体心立方晶格的第一布里渊区主要的对称点：Γ：；H：；P：；N：；），，（0002a），，（0012a），，（2121212a），，（021212a体心立方晶格的倒格子是面心立方格子。本图中用实心圆点标出了倒格点。在倒空间中画出它的第一布里渊区。如果正格子体心立方体的边长是a，则倒格子为边长等于4π/a的面心立方。（FBZ、k、Γ）二、能带模型弱晶格近似紧束缚近似金属中自由电子除与离子实相互碰撞外，无相互作用；电子所受到的势能函数为常数（弱周期场）；⇒电子波函数仍然为自由电子波函数⇒电子受到晶格的散射⇒当电子的波矢落到布里渊区边界时，发生Bragg衍射1、弱晶格近似（weakpotentialappocimation）：将单电子势做傅立叶展开，可分为常势项和微扰项弱晶格近似中能带电子看作是仅仅受到离子实的周期势场的微扰，另外还有其它价电子对离子晶格势的再次屏蔽（使周期势更加减弱），并据此求解巡游电子的波函数和能带。2、紧束缚近似(tightbindingmodel)紧束缚模型：电子几乎为一个原子所有，在空间上稍有扩展，即紧束缚方法认为电子在孤立原子中的情形，而又不全如此：每个原子对它附近的电子的作用较强，当二者的距离稍远时，作用很小。紧束缚近似本质上是用微扰法来求解束缚电子的波函数和能带。20个氢原子构成原子环的1s能带（1）基函数（Wanner函数）),(rRan为能带序号原子坐标，电子坐标nRr,电子波函数:nRkinnerRaNrk),(1),(kRkinnerkNrRa),(1),(kRrkirkueNn),(1)(性质：a.区域性：),(),(nRrkurkub.正交性：不同格点不同能带的Wanner函数正交。nnnnrdRraRra)()(*物理意义：不同能级的电子云重迭较少，同一原子不同能级的电子云也不重迭。)(),(nnRrarRa取旺尼尔函数为孤立原子波函数：)()(natnRrRra电子波函数：)(1),(natnRkiRreNrkn)(natRr满足：)()())(2(22natnatnatRrRrRrVm（2）求系统的能量：孤立原子：晶体：)()()(222natnatatnatatRrRrHRrVmH),(),())(2()(22222rkErkrVmrVmH0),())(2(22rkErVm0)())(2(1