微分几何第二章-(2)

2.1平面曲线内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏雷内公式等重点：曲率与相对曲率的计算2.1平面曲线-伏雷内标架设平面曲线C:r=r(s)以弧长为参数，则其切向量a(s)=r∙(s)是一个单位向量，即a(s)∙a(s)=1．两边求导数得a(s)⋅a∙(s)=0，所以a(s)垂直于a∙(s)，这说明a∙(s)是曲线的法向量．令b=a∙/|a∙|，则对于每一个s，[r(s);a(s),b(s)]构成平面曲线C上的一个幺正标架，我们称之为曲线C上的伏雷内标架．由导数的定义我们可知b总是指向曲线弯曲的那一侧．Ca(s)()()()sssssααβ2.1平面曲线-b的指向2.1平面曲线-伏雷内公式由b的定义有a∙(s)=|a∙(s)|b(s)．令k(s)=|a∙(s)|，则有a∙(s)=k(s)b(s).我们把k(s)叫曲线C在r(s)处的曲率．定理.（伏雷内公式）我们有a∙=kb,b∙=–ka.以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式．2.1平面曲线-曲率计算公式平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率为零．3/22||().1()yxyk如果曲线方程为y=y(x)，取x为参数，则曲线的参数表示为r=(x,y(x))，其曲率为3/222|()()()()|().()()xtytxtyttxtytk定理.设曲线C:r(t)=(x(t),y(t))，则其曲率为2.1平面曲线-例子例.求椭圆(x2/a2)+(y2/b2)=1的曲率．3/22222si()nco.sabtatbtk解：椭圆可参数化为r(t)=(acost,bsint)，参数方程为x=acost,y=bsint，所以有x'=–asint,x''=–acost,y'=bcost,y''=–bsint.代入曲率公式得练习题1．求曲线y=sinx的曲率．2．求曲线x=acos3t,y=asin3t的曲率．2.1平面曲线-标准伏雷内标架前面我们定义了平面曲线上的伏雷内标架[r(s);a(s),b(s)]．但伏雷内标架不一定是平面正标架（即它们关于平面上的标准基的分量的行列式不一定为正数）．但我们总可以在曲线上选取一单位法向量n(s)，使[r(s);a(s),n(s)]构成正标架，这个标架叫平面曲线的标准伏雷内标架．aban2.1平面曲线-相对曲率与伏雷内公式因a∙//n，所以可令a∙(s)=kr(s)n(s)．我们称kr为曲线的相对曲率．注意：相对曲率可正可负．定理.我们有下述形式的伏雷内公式：a∙=krn,n∙=–kra.2.1平面曲线-相对曲率计算公式3/22.1()ryyk3/222.()()rxyxyxyk如果曲线由y=y(x)给出，则相对曲率为kr=x∙y∙∙–y∙x∙∙；特别地，当用自然参数时，相对曲率为定理.在一般参数下，相对曲率为1．求曲线x=t2,y=t3的相对曲率．2．求曲线y=2px2的相对曲率．练习题2.1平面曲线-在一点附近的结构设曲线C:r=r(s)．则当k(s)不为0时，曲线近似于抛物线．当k(s)=0，但k∙(s)不为0时，曲线近似于一条近似立方抛物线．（看证明）